Бесконечно большие разных порядков

[Cakes]

Пока я решал предел $\lim\limits_{x\to0}{x}\ln{x}$ у меня возник вопрос:
$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0$ так как $e^x$ бесконечно большое по сравнению с $x$. Имеют ли место такие рассуждения, или они в корне не верны?

[SVD-d]

Очевидно, да. А если бесконечность со знаком минус, то нет.

[gefest_md]

Cakes в сообщении #1174314 писал(а):

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0$ так как $e^x$ бесконечно большое по сравнению с $x$. Имеют ли место такие рассуждения, или они в корне не верны?

Смотря какой учебник используете. Если Зорич, то нет; получится замкнутый круг. У Зорича важнейшим моментом в доказательстве предела $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{e^x}=0$ является теорема о пределе сложной функции. Сначала ее надо освоить.

[Xaositect]

Cakes в сообщении #1174314 писал(а):

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0$ так как $e^x$ бесконечно большое по сравнению с $x$. Имеют ли место такие рассуждения, или они в корне не верны?

Это Вы написали просто определение бесконечно большой более высокого порядка. Одной такой фразой доказать $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0$ нельзя, надо какое-нибудь формальное обоснование.