Полное внутреннее отражение

[satbek]

Здравствуйте!
Решил задачу, хочу узнать правильно или нет.
Задача:
Плоская линейно-поляризованная волна частоты $\omega$ падает в стекле
на плоскую границу раздела: стекло–воздух с углом падения $\theta = 60^{\circ},$
Вектор электрического поля перпендикулярен плоскости падения. Найти
компоненты вектора Умова–Пойнтинга в воздухе. Определить среднюю
плотность потока энергии в направлении, перпендикулярном к границе
раздела, и вдоль границы раздела. Оценить по компонентам вектора Умова–
Пойнтинга глубину проникновения волны в воздух.
Решение:
1.Обоснуем полное внутреннее отражение через закон Снеллиуса, найдя предельный угол. Вышло $42^{\circ}$.
2.Введем систему координат x,y,z (правая тройка). XY - плоскость раздела сред, XZ - плоскость падения. "Падение волны" происходит вдоль отрицательного направления z.
$H_{0},E_{0},P_{0}$ векторы магнитной ,электрической индукций, Пойнтинга падающей волны.
$H_{1},E_{1},P_{1}$ отраженной.
$H_{2},E_{2},P_{2}$ преломленной.
3.Из формулы Френеля для КЕ-случая находим, что векторы электрической напряженности сонаправлены.
$(E_{10})_{\perp}=-\frac{\sin(\varphi_1-\varphi_2)}{\sin(\varphi_1+\varphi_2)}(E_{00})_{\perp}$
4.Пусть амплитуда напряженности магнитного поля падающей волны $H_{00}$. Так как происходит полное отражение, то амплитуда магнитного поля отраженной волны равна амплитуде падающей. Зная волновое сопротивление в средах и направления векторов , найдем оставшиеся амплитуды электрического и магнитного полей.
5.Запишем явно $H_{2}$. Предположим, что $H_{2}$ распространяется вдоль произвольной оси $X'$.
Вышло:$H_{2}=H_{20}\exp{i\omega(t+\frac{xsin\gamma_2+zcos\gamma_2}{c})}=H_{20}\exp{\frac{i\omega z \cos\gamma_2}{c}}\exp{i\omega(t+\frac{x\sin\gamma_2}{c})}$
$\gamma_2=90^{\circ}$
$\cos{\gamma_2}=i\sqrt{(\frac{n_1}{n_2}\sin\gamma)^2-1}$
Получаем:
$H_2=H_{20}\exp{\frac{\omega}{c}z\sqrt{(\frac{n_1}{n_2}\sin\gamma)^2-1}}\exp{i\omega(t+\frac{x\sin\gamma_2}{c})}$
$E_2=\frac{H_2}{Z_2}$
6.Теперь находим вектор Пойнтинга как $P_{2}=[E_2\times{H_2}]$
вот здесь у меня сомнения $|E_2||H_2|$ искать просто перемножением экспонент или перемножением сопряженных. Я решал простым перемножением.
Получилось:
$P_2=\frac{H_{20}^2}{Z_{2}}\exp{2\frac{\omega}{c}z\sqrt{(\frac{n_1}{n_2}\sin\gamma)^2-1}}\exp{2i\omega(t+\frac{x\sin\gamma_2}{c})}$
7.Вышло , что преломленная волна движется вдоль линии раздела сред.
8.Получается, что у вектора Пойнтинга-Умова присутствует только $||$ составляющая,$\perp$ составляющей нет.
9.Средняя плотность потока энергии в направлении, перпендикулярном к границе раздела равнa 0. Вдоль границы раздела $\frac{1}{2}\frac{H_{20}^2}{Z_{2}}\exp{2\frac{\omega}{c}z\sqrt{(\frac{n_1}{n_2}\sin\gamma)^2-1}}$ т.к среднее значение $\cos=\frac{1}{2}$.
10.Оценку произведем выразив z из амплитуды вектора Пойнтинга.
$P_2=\frac{H_{20}^2}{Z_{2}}\exp{2\frac{\omega}{c}z\sqrt{(\frac{n_1}{n_2}\sin\gamma)^2-1}}$
$z=\frac{\frac{c}{2\omega}\ln{\frac{P_2H_2}{H_{20}^2}}}{\sqrt{(\frac{n_1}{n_2}\sin\gamma)^2-1}}}$
Сомневаюсь в 6-10 шагах. Вызывается беспокойство то, что амплитуды остаются неизвестными.

[Munin]

Почему неизвестными? Они через граничные условия на границе раздела сред выражаются через амплитуду падающей волны (надо учесть и внутреннюю отражённую).

С шагами 7-10 я согласен.

В пункте 6, покумекав, я думаю так. Замена синусов на экспоненты хороша для линейных величин. Вектор Пойнтинга квадратичный (как и все энергетические величины). Поэтому надо вернуться от экспонент к синусам, то есть от каждой $\exp(i\ldots)$ к её действительной части $\operatorname{Re}\exp(i\ldots)=\tfrac{1}{2}(\exp i\ldots+\overline{\exp i}\ldots).$

То есть, $P=\tfrac{1}{4}(E+\,\overline{\!E})(H+\,\overline{\!H})=\tfrac{1}{4}(EH+\,\overline{\!E}H+E\,\overline{\!H}+\,\overline{\!E}\,\overline{\!H}),$ и здесь ни одного слагаемого нельзя выкинуть, потому что все они дадут свой вклад. Можно только заметить, что фазовые множители равны, и упростить это до $\tfrac{1}{4}(2EH+2\,\overline{\!E}H),$ что и даст искомый результат: синусоиду, сдвинутую вверх (второе слагаемое константа).

Чтобы это сообразить, я исходил из "что надо получить", но вроде, в итоге всё обосновал. Берите этот приём на вооружение.

[satbek]

Спасибо. Прислушался к вашему совету и похоже все правильно.