Найти предел не используя правил Лопиталя

[Cakes]

Помогите решить этот предел, пожалуйста.
$\lim\limits_{x\to0}{x}\ln{x}$
Я пробовал раскладывать $\ln{x}$ в степенной ряд, но ведь это невозможно, так как функция не определена в нуле.
Преобразования вида $\ln{\lim\limits_{x\to0}{x^x}}$ Даже не знаю как подступиться.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 04.12.2016, 21:14 --

Попробуйте замену $y = 1/x$.

[Brukvalub]

$x\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$

[Cakes]

Brukvalub
Это то ясно, но что тут можно сделать, не используя Лопиталя

[Brukvalub]

Если известно, что этот предел существует и конечен, то можно заменить $x=t^2$ , тогда все сразу получится. Труднее доказать, что существует конечный предел.

[gefest_md]

Идея свести предел к пределу функции $\frac{t}{e^t}$, при $t\to +\infty$. Зорич.

[Cakes]

gefest_md
У меня получилось вот так:
$\ln{x}=\frac{1}{e^t}$ если $x\to0$ то $t\to-\infty$
Тогда $x=e^\frac{1}{e^t}$
$\lim\limits_{t\to-\infty}\frac{e^\frac{1}{e^t}}{e^t}=0$
Это верно?

[gefest_md]

Cakes, $x=\frac{1}{e^t}$. Новый предел доказан у Зорича, глава III, параграф 2, пример 22.

[Cakes]

Спасибо