Простая задача о кругах в 2-адической метрике

[fractalon]

2-адическая метрика на множестве всех рациональных чисел определяется как $\rho(a,a + {2^k} \frac{n}{m}) = \frac{1}{2^k}$ для нечётных $n,m$ и $\rho(a,a) = 0$,
Задача: доказать, что 2-адический круг радиуса $r$ содержит бесконечно много попарно непересекающихся 2-адических кругов радиуса $r$.
Задача из "Кванта".

Я не то что не могу решить задачу, но мне явно видится искомое утверждение просто неверным. Рассмотрим, например, круг с центром $0$ и радиусом $1$. Там будут все числа вида $2^k \frac{m}{n}, k \ge 0$. 2-адическое расстояние между двумя любыми такими числами будет меньше чем $1$. Следовательно, какую бы точку этого круга мы не взяли в качестве нового центра, получим опять этот же круг. И где тогда брать бесконечное число попарно непересекающихся подкругов?

Вот и думаю теперь - то ли в задаче опечатка, то ли я что-то неправильно понял о самой природе метрики. Подтвердите, пожалуйста, мои размышления или опровергните.

[Brukvalub]

Скажите, а можно ли указать два рац. числа, 2-адическое расстояние между которыми было бы больше единицы?

[fractalon]

Конечно, $\rho(0,\frac{1}{2})=2$, например.

[Brukvalub]

Да, задача - ошибочна.