Интеграл

[Кольчик]

есть интеграл:
$\int {\frac {\sqrt{x}} {\sqrt{x} +1}dx} = \int {\frac {\sqrt{x} - 1 + 1} {\sqrt{x}+1}dx} = \int{\frac {\sqrt{x}+1} {\sqrt{x}+1}dx - \int \frac{dx}{\sqrt{x}+1} = x-c_1 - \int \frac{dx}{\sqrt{x}+1} $

Решаю и получается так что я повторяюсь по бесконечному кругу. после дальнейших преобразований начинает все повторятся.

[nefus]

Сразу сделайте замену $\sqrt{x}=t$

[ins-]

$ \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \,dx = \int \frac{\sqrt{x} + 1 - 1}{\sqrt{x}+1} \,dx = x - \int \frac{1}{\sqrt{x}+1} \,dx$
$ u = \sqrt{x} $ then our integral becomes:
$ T = 2\int \frac{u}{u+1} \,du$
$\int \frac{u}{u+1} \,du = u - ln(u+1) $

[Кольчик]

ins- писал(а):

$ \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \,dx = \int \frac{\sqrt{x} + 1 - 1}{\sqrt{x}+1} \,dx = x - \int \frac{1}{\sqrt{x}+1} \,dx$
$ u = \sqrt{x} $ then our integral becomes:
$ T = 2\int \frac{u}{u+1} \,du$
$\int \frac{u}{u+1} \,du = u - ln(u+1) $

Разве после замены получается такой интеграл?
{Realy such integral is got after change?}

[ins-]

Кольчик писал(а):

ins- писал(а):

$ \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \,dx = \int \frac{\sqrt{x} + 1 - 1}{\sqrt{x}+1} \,dx = x - \int \frac{1}{\sqrt{x}+1} \,dx$
$ u = \sqrt{x} $ then our integral becomes:
$ T = 2\int \frac{u}{u+1} \,du$
$\int \frac{u}{u+1} \,du = u - ln(u+1) $

Разве после замены получается такой интеграл?
{Realy such integral is got after change?}

If I'm not wrong it is the integral...$du^{2} = 2udu$.

P.S. You may use only one language. I undertand very well both languages.

[nefus]

$\int {\frac {\sqrt{x}} {\sqrt{x} +1}dx} = |\sqrt{x}=t| = 2\int{\frac {t*t} {t+1}dt = 2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t} {t+1}dt=2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t+1} {t+1}dt+2\int{\frac {1} {t+1}dt=t^2-2t+2ln(t+1) + C$
Далее делаете обратную замену.
$I=x-2\sqrt{x} + 2ln(\sqrt{x}+1) + C$

[Кольчик]

nefus писал(а):

$\int {\frac {\sqrt{x}} {\sqrt{x} +1}dx} = |\sqrt{x}=t| = 2\int{\frac {t*t} {t+1}dt = 2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t} {t+1}dt=2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t+1} {t+1}dt+2\int{\frac {1} {t+1}dt=t^2-2t+2ln(t+1) + C$
Далее делаете обратную замену.
$I=x-2\sqrt{x} + 2ln(\sqrt{x}+1) + C$

Спасибо!, но не могли бы вы кратко пояснить решение?

[nefus]

Кольчик писал(а):

nefus писал(а):

$\int {\frac {\sqrt{x}} {\sqrt{x} +1}dx} = |\sqrt{x}=t| = 2\int{\frac {t*t} {t+1}dt = 2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t} {t+1}dt=2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t+1} {t+1}dt+2\int{\frac {1} {t+1}dt=t^2-2t+2ln(t+1) + C$
Далее делаете обратную замену.
$I=x-2\sqrt{x} + 2ln(\sqrt{x}+1) + C$

Спасибо!, но не могли бы вы кратко пояснить решение?

А что непонятно?
Сделали замену $\sqrt{x}=t$ получили интеграл $2\int{\frac {t^2} {t+1}dt$, затем добавили t и вычли t, получили два интеграла, потом также добавили 1 и вычли 1, получили 3 табличных интеграла.

[нг]

nefus
ins-
Пожалуйста, не помещайте полное решение задач в этом разделе.
Please, do not post full solutions in this subforum.