2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл
Сообщение05.05.2008, 18:32 
есть интеграл:
$\int {\frac {\sqrt{x}} {\sqrt{x} +1}dx} = \int {\frac {\sqrt{x} - 1 + 1} {\sqrt{x}+1}dx} = \int{\frac {\sqrt{x}+1} {\sqrt{x}+1}dx - \int \frac{dx}{\sqrt{x}+1} = x-c_1 - \int \frac{dx}{\sqrt{x}+1} $

Решаю и получается так что я повторяюсь по бесконечному кругу. после дальнейших преобразований начинает все повторятся.

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 18:51 
Аватара пользователя
Сразу сделайте замену $\sqrt{x}=t$

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 18:54 
Аватара пользователя
$ \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \,dx = \int \frac{\sqrt{x} + 1 - 1}{\sqrt{x}+1} \,dx = x -  \int \frac{1}{\sqrt{x}+1} \,dx$
$ u = \sqrt{x} $ then our integral becomes:
$ T = 2\int \frac{u}{u+1} \,du$
$\int \frac{u}{u+1} \,du = u - ln(u+1) $

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 19:10 
ins- писал(а):
$ \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \,dx = \int \frac{\sqrt{x} + 1 - 1}{\sqrt{x}+1} \,dx = x -  \int \frac{1}{\sqrt{x}+1} \,dx$
$ u = \sqrt{x} $ then our integral becomes:
$ T = 2\int \frac{u}{u+1} \,du$
$\int \frac{u}{u+1} \,du = u - ln(u+1) $


Разве после замены получается такой интеграл?
{Realy such integral is got after change?}

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 19:22 
Аватара пользователя
Кольчик писал(а):
ins- писал(а):
$ \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \,dx = \int \frac{\sqrt{x} + 1 - 1}{\sqrt{x}+1} \,dx = x -  \int \frac{1}{\sqrt{x}+1} \,dx$
$ u = \sqrt{x} $ then our integral becomes:
$ T = 2\int \frac{u}{u+1} \,du$
$\int \frac{u}{u+1} \,du = u - ln(u+1) $


Разве после замены получается такой интеграл?
{Realy such integral is got after change?}


If I'm not wrong it is the integral...$du^{2} = 2udu$.

P.S. You may use only one language. I undertand very well both languages.

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 19:23 
Аватара пользователя
$\int {\frac {\sqrt{x}} {\sqrt{x} +1}dx} = |\sqrt{x}=t| = 2\int{\frac {t*t} {t+1}dt = 2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t} {t+1}dt=2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t+1} {t+1}dt+2\int{\frac {1} {t+1}dt=t^2-2t+2ln(t+1) + C$
Далее делаете обратную замену.
$I=x-2\sqrt{x} + 2ln(\sqrt{x}+1) + C$

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 19:30 
nefus писал(а):
$\int {\frac {\sqrt{x}} {\sqrt{x} +1}dx} = |\sqrt{x}=t| = 2\int{\frac {t*t} {t+1}dt = 2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t} {t+1}dt=2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t+1} {t+1}dt+2\int{\frac {1} {t+1}dt=t^2-2t+2ln(t+1) + C$
Далее делаете обратную замену.
$I=x-2\sqrt{x} + 2ln(\sqrt{x}+1) + C$


Спасибо!, но не могли бы вы кратко пояснить решение?

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 20:20 
Аватара пользователя
Кольчик писал(а):
nefus писал(а):
$\int {\frac {\sqrt{x}} {\sqrt{x} +1}dx} = |\sqrt{x}=t| = 2\int{\frac {t*t} {t+1}dt = 2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t} {t+1}dt=2\int{\frac {t^2+t} {t+1}dt-2\int{\frac {t+1} {t+1}dt+2\int{\frac {1} {t+1}dt=t^2-2t+2ln(t+1) + C$
Далее делаете обратную замену.
$I=x-2\sqrt{x} + 2ln(\sqrt{x}+1) + C$


Спасибо!, но не могли бы вы кратко пояснить решение?


А что непонятно?
Сделали замену $\sqrt{x}=t$ получили интеграл $2\int{\frac {t^2} {t+1}dt$, затем добавили t и вычли t, получили два интеграла, потом также добавили 1 и вычли 1, получили 3 табличных интеграла.

 
 
 
 
Сообщение05.05.2008, 20:53 
Аватара пользователя
nefus
ins-
Пожалуйста, не помещайте полное решение задач в этом разделе.
Please, do not post full solutions in this subforum.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group