Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$

[vxv]

"до первок ощибки"
А это что означает (бан, пургаторий, удаление темы)?

Уважаемая shwedka.
Не уверен в необходимости отделять величины от выражений, в которые эти величины входят. Поэтому попробую обосновать, как вижу. И это не обман, а следствие принятого (способом от противного) допущения, что выражения:
$3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3$ (5)
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^3$ (6)
- верные равенства.
Или иначе:
$Y_x = 8X + Z_x$
$Y_1 = 8X_1 + Z_1$,
где $Z_1 = Z_x = 0$, $X=x^3$, $Y_x=3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3+Z_x$
И, наоборот, никакой линейной зависимости, если (6) и (5) на самом деле неравенства:
$Y_x > 8X$
$Y_1 > 8X_1$,
Так как могут быть преобразованы в верные равенства:
$Y_x = 8X + Z_1X$
$Y_1 = 8X_1 + Z_1$,
где $Z_1\neq Z_x\neq0$, $X=x^3$.
То есть во втором случае, в отличие от изначально принятого предположения, точки графиков $Y=3(c+2x)(ab-2xc)$ и $Y=(2x)^3$ при фиксированных значениях $x_1$ и $x$ попарно не совпадают, когда $a,b,c,x$ - натуральные числа.
То есть
$c^3>(a^3+b^3)$,
$ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $.

Поэтому же:
$\sum\limits_{x=1}^{\infty}3(c+2x)(ab-2xc)-(2x)^3$ = $\sum\limits_{x=1}^{\infty}[c_1^3-(a_1^3+b_1^3)]x^3$ - расходящийся ряд,
когда $ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $ и $c^3>a^3+b^3$ (согласно ОДЗ).

-- 03.12.2016, 18:06 --

[shwedka]

vxv в сообщении #1173954 писал(а):

Не уверен в необходимости отделять величины от выражений, в которые эти величины входят. Поэтому попробую обосновать, как вижу. И это не обман, а следствие принятого (способом от противного) допущения, что выражения:
$3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3$ (5)
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^3$ (6)
- верные равенства.

И снова спрашивю, что за числа $a_1,b_1,c_1$, как они связаны с $a,b,c$??

[vasili]

Уважаемый vxv! Я допустил ошибку. Прошу прощения.

[vxv]

shwedka в сообщении #1173969 писал(а):

И снова спрашивю, что за числа $a_1,b_1,c_1$, как они связаны с $a,b,c$??

Уважаемаяshwedka,

«Кто» такие …?
Так обозначены (для удобства сравнения в этой версии доказательства) все значения величин из «некоторой области», которые на самом деле (согласно доказываемому нами утверждению), не удовлетворяют гипотетически верному равенству $a^3+b^3=c^3$ (1) в системе параметрических уравнений:
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2x\end{cases}$
Соответственно, для $x=1$ - это $a_1,b_1,c_1$, и для $x>1$ - это $a,b,c$. И с учетом $2x<a<b<c$.
Для справки: «Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина называется параметр.»
Как они связаны между собой (или чем отличаются)?
«Если любой элемент множества $A$ принадлежит множеству $B$, то в этом случае множество $A$ является подмножеством множества $B$.»
$a_1,b_1,c_1$ - $B$,
$a,b,c$ - $A$.
P.S. Кстати, последнее утверждение снимает вопрос о возможности «подборов» $a,b,c$, не связанных коэффициентом пропорциональности с $a_1,b_1,c_1$, из той же области определения ($2x<a<b<c$).(ИМХО).

[shwedka]

vxv в сообщении #1214686 писал(а):

Так обозначены (для удобства сравнения в этой версии доказательства) все значения величин из «некоторой области», которые на самом деле (согласно доказываемому нами утверждению), не удовлетворяют гипотетически верному равенству $a^3+b^3=c^3$ (1) в системе параметрических уравнений:

совершенно невнятно. Доказывая утверждение, Вы не имеете право пользоваться свойствами, которые 'на самом деле (согласно доказываемому нами утверждению)'якобы выполнены.

[vxv]

Уважаемая shwedka.
Нет. Вы ошибочно интерпретируете сказанное мною.
Поясню. Нам требуется доказать утверждение Ферма. Но сначала мы доказываем истинность исключительно только нашего утверждения, что $a^3+b^3=c^3$ (1) - верное равенство (т.е. натуральные решения у этого равенства есть). Находим его абсурдным. И только после этого делаем вывод, что Ферма прав (и «кто такие $a_1,b_1,c_1$ на самом деле»).

vxv в сообщении #1165436 писал(а):

Но (6) не может быть равенством для любых натуральных $a,b,c$

shwedka в сообщении #1165444 писал(а):

Вы, видимо, имели в виду
Но (6) не может быть ВЕРНЫМ равенством НИ ДЛЯ КАКИХ натуральных $a,b,c$.

-- 12.05.2017, 11:42 --

vxv в сообщении #1214686 писал(а):

«Если любой элемент множества $A$ принадлежит множеству $B$, то в этом случае множество $A$ является подмножеством множества $B$.»
$a_1,b_1,c_1$ - $B$,
$a,b,c$ - $A$.
P.S. Кстати, последнее утверждение снимает вопрос о возможности «подборов» $a,b,c$, не связанных коэффициентом пропорциональности с $a_1,b_1,c_1$, из той же области определения ($2x<a<b<c$)

Поэтому же для доказательства теоремы Ферма для $n=3$ нам достаточно убедиться в наличии или отсутствии натуральных решений $a_1,b_1,c_1$ в системе:
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2\end{cases}$,
а для других степеней $n>2$ :
$\begin{cases}a^n+b^n=c^n\\a+b=c+2\end{cases}$

[Лукомор]

vxv в сообщении #1215931 писал(а):

Поэтому же для доказательства теоремы Ферма для $n=3$ нам достаточно убедиться в наличии или отсутствии натуральных решений $a_1,b_1,c_1$ в системе:
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2\end{cases}$,

А для второй степени:
$\begin{cases}a^2+b^2=c^2\\a+b=c+2\end{cases}$

[vxv]

Лукомор в сообщении #1215953 писал(а):

А для второй степени:
$\begin{cases}a^2+b^2=c^2\\a+b=c+2\end{cases}$

Неужели это так смешно?
Вот, пример для степени $n=2$:
($a,b,c,m$ и $a_1,b_1,c_1,m_1$ (для $x=1$) - натуральные числа, $x$ - любое натуральное число, при котором выражение $2(ab-2xc)$ - квадрат)
$a^2+b^2=c^2$ (1)
$a+b=c+m$ (2)
$\begin{cases}a^2+b^2=c^2\\a+b=c+2x\end{cases}$
$(a+b)^2=(c+2x)^2$ (3)
$c^3-(a^2+b^2)=2(ab-2xc)-2^2x^2$ (4)
$2(ab-2xc)=(2x)^2$ (5)
$2(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^2$ (6) – наименьший квадрат.
(6) может быть равенством, поскольку выражения $ab-mc$ четное и допускает значение $ab-mc=2$ для $x=1$.
Т.е. $a^2+b^2=c^2$ (1) – тоже может быть равенством (в отличие от $ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $).
topic75889-150.html

[shwedka]

vxv в сообщении #1215931 писал(а):

Поэтому же для доказательства теоремы Ферма для $n=3$ нам достаточно убедиться в наличии или отсутствии натуральных решений $a_1,b_1,c_1$ в системе:
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2\end{cases}$,

на этом месте стоп.
1.

Цитата:

наличии или отсутствии натуральных решений $a_1,b_1,c_1$ в системе:
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2\end{cases}$,

Бессмыслица. В систему никакие $a_1,b_1,c_1$ не входят.

Цитата:

достаточно убедиться

Доказательство этой 'достаточности' отсутствует.

[Лукомор]

vxv в сообщении #1215960 писал(а):

Неужели это так смешно?

Это печально!
Потому что уже для первой степени система:
$\begin{cases}a^1+b^1=c^1\\a+b=c+2\end{cases}$
не имеет решений...

[vxv]

Лукомор! Не расстраивайтесь так… Может контрпример «не той системы»…? Да и доказываем мы теорему Ферма не для степени $n=1$.

Для чего и по какому принципу Вы формируете систему для степени $n=1$? Откуда возникло уравнение с «ненулевым» $m$? «Ненулевое» $m$ никак не следует из уравнения $a^1+b^1=c^1$ (такое возможно, начиная только с $n=2$). У Вас заведомо в уравнениях не совпадают $a,b,c$... А если «заведомо» совпадают, то доказать, решая систему, можно только то, что на самом деле $m=0$ (приведя все к абсурду: $0=2$).
Например, для $n=2$ уравнение $a+b=c+m$ с «ненулевым» значением $m$ однозначно следует из уравнения $a^2+b^2=c^2$, что не трудно обосновать (и для $n>2$ тоже). Именно такая связь позволяет формировать корректно систему:
$\begin{cases}a^2+b^2=c^2\\a+b=c+m\end{cases}$

[Someone]

vxv в сообщении #1216512 писал(а):

Может контрпример «не той системы»…? Да и доказываем мы теорему Ферма не для степени $n=1$.

А где в вашем доказательстве используется то, что степень больше $2$? Подчёркиваю: именно используется, а не упоминается.

[Лукомор]

vxv в сообщении #1216512 писал(а):

Откуда возникло уравнение с «ненулевым» $m$?

Отсюда:

vxv в сообщении #1215931 писал(а):

$\begin{cases}a^n+b^n=c^n\\a+b=c+2\end{cases}$

Нигде не обосновано, начиная с какого значения $n$ эта система будет иметь какое-то отношение к теореме Ферма...

-- Пн май 15, 2017 11:13:46 --

vxv в сообщении #1216512 писал(а):

Именно такая связь позволяет формировать корректно систему:
$\begin{cases}a^2+b^2=c^2\\a+b=c+m\end{cases}$

Я Вам больше скажу...
Для степеней от третьей и выше можно сформировать систему:
$\begin{cases}a^n+b^n=c^n\\a^2+b^2=c^2+p\end{cases}$
И это не имеет никакого судьбоносного значения для доказательства теоремы Ферма, так же как и Ваша система...
Это просто тавтология...

[vxv]

Someone в сообщении #1216522 писал(а):

А где в вашем доказательстве используется то, что степень больше $2$? Подчёркиваю: именно используется, а не упоминается.

Ваш вопрос не однозначен, но отвечу. Например, используется здесь:
Полагаю, что для общего доказательства ТФ, достаточно лишь доказать то, что уравнение $a^3+b^3=c^3$ не имеет натуральных решений $a, b$ и $c$, поскольку у нас
$\sum\limits_{n=3}^{\infty}c^n-(a^n+b^n)$ - расходящийся ряд.
Каждый член этого ряда в нашем случае представляет из себя первый член другого расходящегося ряда.
topic75889-105.html

[Someone]

Здесь не используется, а только упоминается. Вы ссылаетесь только на расходимость некоего ряда, а этот ряд будет расходящимся независимо от того, с какого $n$ Вы его начнёте — с $3$, с $2$, с $1$ или со $100\,500$. Особенно если учесть, что из расходимости этого ряда отсутствие решений вообще не следует. Тем более, что расходимость — хоть с модулями, хоть без — в данном случае следует из так называемого необходимого признака сходимости: если ряд $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n$ сходится, то $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$. Поэтому, если предел $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq 0$, то ряд $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n$ расходится.