Парочка задач из школьной механики.

[VolroRutra]

Задача 1. Велосипед

Цитата:

Радиус колеса велосипеда 0.6 м, число спиц 40. Колесо фотографируют во время движения с экспозицией 0.03 с. На фотографии видно, что за это время каждая спица повернулась на половину угла между двумя соседними спицами. Вычислите скорость, с которой без проскальзывания движется велосипед.

Мое решение:
$\upsilon=\omega r$ Так как $\omega=\tfrac{\Delta\varphi}{t}$= $\dfrac{2\pi}{2nt}$, где $n$ -- количество спиц и двойка в знаменателе т.к повернулась на половину угла. $\upsilon=\dfrac{\pi}{nt}r$ Получаем $\upsilon=90 \text {м/с}$
Авторский ответ: $1.57 \text{м/с}$
Я, конечно, понимаю, что $324 \text{км/ч}$ на велосипеде это вполне себе неплохой результат, но где ошибка не понимаю.
И еще одна Задача 2. Переменная сила

Цитата:

К телу массой 5 кг, первоначально покоившемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывают постоянную по направлению горизонтальную силу, величина которой равномерно растет со временем по закону $F_i=\alpha t$, $\alpha=4\text{Н/c}$ Вычислите скорость тела через 10 с после начала действия силы. Коэффициент трения скольжения тела по поверхности 0.4. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с^2

Мое решение:
${\vec{a}}=\dfrac{\vec{F_r}}{m}$, где $\vec{F_r}$=$\vec{F_i}$ - $\vec{F_t}$ =$\alpha t$ - $\mu m g$. Тогда $a=\dfrac{\alpha t}{m} - \mu g$ т.к начальная скорость равна нулю то $a=\dfrac{\upsilon}{t}$, $\upsilon=\dfrac{\alpha t^2}{m} - \mu g t$ Подставляя получим $\upsilon=\text {40м/с}$. Мое решение мне немного не нравится, но ответ автора мне не нравится еще больше $\upsilon=0$. Ведь максимальная сила трения покоя равна ${20H}$, а уже в момент времени $t={6c}$ наша переменная сила достигает значения $F={24H}$, что, в любом случае, заставит тело двигаться.

[arseniiv]

VolroRutra в сообщении #1173755 писал(а):

Получаем $\upsilon=90 \text {м/с}$
Авторский ответ: $1.57 \text{м/с}$

Ошибка в арифметике, насколько я вижу.

[iifat]

VolroRutra в сообщении #1173755 писал(а):

$\upsilon=\dfrac{\pi}{nt}r$

Ну, так вот, прикидочно: $\frac3{0.12}0.6\approx24\times0.6$ — ну никак, вроде, не 90. Да, и не 1,57...

[amon]

VolroRutra в сообщении #1173755 писал(а):

$\upsilon=\dfrac{\pi}{nt}r$

До этого места включительно все правильно. Ошибка в арифметике. (У Вас, не у автора ;)

VolroRutra в сообщении #1173755 писал(а):

ответ автора мне не нравится еще больше $\upsilon=0$

А тут автор, похоже, соврал. Однако, и Вы от него не отстаете. Боюсь, что школьными методами (без решения простенького дифференциального уравнения) эта задача не решается. Касательно Вашего "решения".

VolroRutra в сообщении #1173755 писал(а):

$a=\dfrac{\upsilon}{t}$

Это Вы откуда взяли.

-- 03.12.2016, 01:44 --

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1173758 писал(а):

$\frac3{0.12}0.6\approx24\times0.6$

И тут собрались все великие русские арифметики, и стали думать, как же решить эту задачу ... (сам такой)

[arseniiv]

(Арифметика)

iifat
$0{,}12$ ли?

-- Сб дек 03, 2016 03:45:42 --

Я бы, возможно, тоже начудил, но калькулятор не даст соврать.

-- Сб дек 03, 2016 03:46:58 --

Кстати, я бы прикидывал как $\dfrac{3\cdot0{,}6}{40\cdot0{,}03}$, откуда сразу видно, что величина порядка 1.

[wrest]

Для второй задачи не хватает коэффициента трения покоя. Обычно он больше, чем для скольжения (бывает даже, что и в два раза).
Ну и, конечно, если трение покоя преодолено, то получается увеличивающаяся со временем сила а с ней и увеличивающееся со временем ускорение, а это совсем не равноускоренное движение, которое проходят в школе.

[iifat]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1173761 писал(а):

$0{,}12$ ли?

М-да. Дважды два шесть — это лучше, чем дважды два восемь? Или так же позорно?

[wrest]

Хотя, зная формулу для пройденного пути при равноускоренном движении и пораскинув мозгами, школьник мог бы, конечно, найти конечную скорость и для движения с переменным ускорением, а вот пройденный путь - вряд ли, но его в задаче искать и не нужно.

[VolroRutra]

arseniiv в сообщении #1173757 писал(а):

Ошибка в арифметике, насколько я вижу.

amon в сообщении #1173760 писал(а):

До этого места включительно все правильно. Ошибка в арифметике. (У Вас, не у автора ;)

Дико извиняюсь, вместо $\pi=3.14$ подставлял 180...

amon в сообщении #1173760 писал(а):

Однако, Касательно Вашего "решения".

VolroRutra в сообщении #1173755 писал(а):

$a=\dfrac{\upsilon}{t}$

Это Вы откуда взяли.

Ну $a=\dfrac{\upsilon-\upsilon_0}{t}$, $\upsilon_0=0$ Вот так и получил, что, как я понимаю, ужасно не правильно, потому что ускорение переменное ?

amon в сообщении #1173760 писал(а):

Боюсь, что школьными методами (без решения простенького дифференциального уравнения) эта задача не решается.

Может все таки есть лазейка ?

wrest в сообщении #1173769 писал(а):

Хотя, зная формулу для пройденного пути при равноускоренном движении и пораскинув мозгами, школьник мог бы, конечно, найти конечную скорость и для движения с переменным ускорением, а вот пройденный путь - вряд ли, но его в задаче искать и не нужно.

Школьник пораскинул мозгами и вспомнил такую формулу $s=\dfrac{\upsilon^2}{2a}$. И тут, наверное, можно взять среднее ускорение, которое, по аналогии со скоростью, равно $a =\dfrac{a_0+a_к}{2}$ Но тут меня пугает сила трения: будет ли график линейным?

[Skeptic]

Во второй задаче тело покоится, т.е. его ускорение равно $0$. Следовательно, сила постоянно равна $0$, и тело не сдвинется с места.

[VolroRutra]

Skeptic в сообщении #1173787 писал(а):

Во второй задаче тело покоится, т.е. его ускорение равно $0$. Следовательно, сила постоянно равна $0$, и $v=0$.

Здесь я чего-то не догоняю. Хорошо, в начале тело покоится -- его ускорение и скорость равны нулю.Но почему сила постоянно равна нулю ? Она ведь увеличивается со временем и ускорение будет увеличиваться, нет ?

[Skeptic]

Извините, сморозил глупость.

[wrest]

VolroRutra в сообщении #1173786 писал(а):

Но тут меня пугает сила трения: будет ли график линейным?

Зачем гадать? Запишите зависимость ускорения от времени, взяв за начало отсчета времени начало движения.

[amon]

VolroRutra в сообщении #1173786 писал(а):

$s=\dfrac{\upsilon^2}{2a}$

А вот формулу $s=v_0t+\frac{at^2}{2}$ школьник, увы, не вспомнил. А если бы вспомнил еще как эта формула получается (графики там всякие...), то глядишь, и предложенный wrest'ом способ решения сработал бы...

-- 03.12.2016, 12:45 --

VolroRutra в сообщении #1173786 писал(а):

Вот так и получил, что, как я понимаю, ужасно не правильно, потому что ускорение переменное ?

Угу.

[VolroRutra]

wrest в сообщении #1173816 писал(а):

Зачем гадать? Запишите зависимость ускорения от времени, взяв за начало отсчета времени начало движения.

Моя зависимость (см. выше $a=\dfrac{\alpha t}{m} - \mu g$) очевидно бредовая: при $t<5$ тело, вдруг, не с того ни сего, едет назад! ( ) Или мне можно просто рассматривать движение после $t=5c$, а на то, что до этого происходило, как говорится забить ?

amon в сообщении #1173826 писал(а):

А вот формулу $s=v_0t+\frac{at^2}{2}$ школьник, увы, не вспомнил. А если бы вспомнил еще как эта формула получается (графики там всякие...), то глядишь, и предложенный wrest'ом способ решения сработал бы...

Эту формулу школьник тоже вспомнил, но, как видно зря, не думал, что она плодотворна. Ведь она получается при рассмотрение графика скорости, который линеен, потому что ускорение постоянно, и нахождения площади под ним, которая трапеция. Но у нас ведь ускорение само меняется, и график скорости, вроде, будет парабола. А как площадь под параболой находить без интегралов: задача для девятого класса.