Почему поле бесконечной плоскости однородное?

[tohaf]

Почему в поле бесконечной однородно заряженной плоскости напряженность везде одинакова? Чем дальше ведь от плоскости - тем напряженность будет меньше, разве нет?

[gris]

Я попробую ответить без всяческих интегралов и теорем Гаусса. Чисто качественно.
Из соображений симметрии ясно, что вектор напряжённости перпендикулярен плоскости в любой точке, и его величина не зависит от расположения проекции точки на плоскость, а может зависеть только от расстояния до плоскости. Но и от этого расстояния она не зависит.
Ведь пробный заряд (пусть противоположного знака) притягивается ко всей бесконечной плоскости, к каждой её точке. Поставим на плоскость прямой круглый конус с произвольным углом при вершине, которая находится в точке с зарядом. И будем отодвигать этот заряд от плоскости. По причине подобия площадь основания конуса будет возрастать пропорционально квадрату расстояния от плоскости до заряда, и сила притяжения к этому основанию обратно пропорционально квадрату расстояния. Эти две пропорциональности и съедают друг друга.
Поэтому сила притяжения к плоскости не зависит от расстояния до неё.
Сравните с притяжением к бесконечной нити. Там прямая пропорциональность будет линейной и напряжённость будет зависеть от расстояния от заряда до нити.

Пока писал, уже ответили по умному. Но я же для того и закинул вначале первую фразу, чтобы потом не было обидно

[Vince Diesel]

Масштаба нет, чтобы сравнивать Напряженность будет пропорциональна телесному углу, под которым видна плоскость из точки, а это $2\pi$ везде вне плоскости.

[Metford]

Если взять две точки на одном перпендикуляре к плоскости и выделить колечко с центром в основании этого перпендикуляра, то элемент колечка в точке поближе создаёт напряжённость больше, но проекция вектора на результирующее направление будет мала. В точке подальше будет наоборот: модуль вектора поменьше, зато проекция ближе по величине к модулю. Это если совсем на пальцах.
Сделайте чертёж.

[Munin]

Почему при удалении напряжённость меньше? Потому что мы смотрим на те же заряды, а напряжённость от них $\sim 1/r^2.$

Но с бесконечностью возможны фокусы. Мы смотрим на заряженную плоскость - а где на ней "те же заряды"? Мы можем взять в качестве "тех же зарядов" заряды, которые видны из нашей точки в малые телесные углы $d\Omega.$ То есть, проводим из нашей точки узкие конусы, и какой заряд в них попал - тот и рассматриваем. Суммарно вся плоскость у нас как была в телесном угле $2\pi$ стерадиан, так и будет в нём всегда, как бы она ни отодвинулась - она же бесконечная.

Теперь посмотрим на заряд в телесном угле. Он удаляется от нас, но телесный угол высекает из плоскости всё бо́льшую и бо́льшую площадку! То есть, меняется величина заряда, приходящаяся на конус. Напряжённость уменьшается по закону $\sim 1/r^2,$ но величина заряда увеличивается по закону $\sim r^2,$ и одно компенсирует другое! Получается, с плоскостью "не получается" рассуждение про удаление и уменьшение напряжённости.

Рассмотреть, что будет с напряжённостью вокруг бесконечной заряженной нити.

[tohaf]

gris в сообщении #1173494 писал(а):

Я попробую ответить без всяческих интегралов и теорем Гаусса. Чисто качественно.
Из соображений симметрии ясно, что вектор напряжённости перпендикулярен плоскости в любой точке, и его величина не зависит от расположения проекции точки на плоскость, а может зависеть только от расстояния до плоскости. Но и от этого расстояния она не зависит.
Ведь пробный заряд (пусть противоположного знака) притягивается ко всей бесконечной плоскости, к каждой её точке. Поставим на плоскость прямой круглый конус с произвольным углом при вершине, которая находится в точке с зарядом. И будем отодвигать этот заряд от плоскости. По причине подобия площадь основания конуса будет возрастать пропорционально квадрату расстояния от плоскости до заряда, и сила притяжения к этому основанию обратно пропорционально квадрату расстояния. Эти две пропорциональности и съедают друг друга.
Поэтому сила притяжения к плоскости не зависит от расстояния до неё.
Сравните с притяжением к бесконечной нити. Там прямая пропорциональность будет линейной и напряжённость будет зависеть от расстояния от заряда до нити.

Пока писал, уже ответили по умному. Но я же для того и закинул вначале первую фразу, чтобы потом не было обидно

Вот именно в изучении теоремы Гаусса это плоскость и фигурирует. С теоремой всё понятно, напряженность на площадь есть поток, а с этим все нет.

Т.е., если еще проще - такое однородное поле будет только у бесконечной плоскости, потому что зарядов на столько бесконечно много, что, согласно принципу суперпозиции, каждый из этих зарядов будет хотя бы чуть-чуть воздействовать на пробник и компенсировать любое расстояние до плоскости?

[DimaM]

Munin в сообщении #1173500 писал(а):

Мы можем взять в качестве "тех же зарядов" заряды, которые видны из нашей точки в малые телесные углы $d\Omega.$ То есть, проводим из нашей точки узкие конусы, и какой заряд в них попал - тот и рассматриваем. Суммарно вся плоскость у нас как была в телесном угле $2\pi$ стерадиан, так и будет в нём всегда, как бы она ни отодвинулась - она же бесконечная.

Кстати, довольно нетрудно показать, что компонента поля, перпендикулярная некоторой плоской области, равномерно заряженной с поверхностной плотностью $\sigma$, будет $E_\perp=\sigma\Omega$, где $\Omega$ - телесный угол, под которым видна область из точки наблюдения.

[rustot]

Можно на пальцах вот так еще объяснить.

Заряд находится сейчас на каком то расстоянии $x$ от плоскости. Если его чуть отодвинуть, то из за этого сила со стороны заряда на плоскости прямо напротив него чуть уменьшится, проекция силы на перпендикуляр к плоскости от заряда плоскости находящегося чуть в стороне - тоже уменьшится. НО! Проекция силы на перпендикуляр к плоскости от заряда плоскости находящегося еще дальше в стороне (дальше чем на $\sqrt{2} x$) увеличится. Сама сила уменьшится, но при этом она заметно изменит направление и проекция на перпендикуляр увеличится. И вот таких "еще дальше в стороне" бесконечное количество и увеличение проекции силы от них скомпенсирует уменьшение проекции сил от тех что "напротив".

А другие проекции сил, не на перпендикуляр к плоскости, нам просто неинтересны потому-что очевидно что в силу симметрии они сложатся до нуля

[Alex-Yu]

ИМХО на пальцах это доказать трудно. Можно, конечно, рассуждать про телесные углы, но это как-то и не на пальцах вовсе.

Но с (довольно элементарной) математикой доказывается запросто. Пусть плоскось лежит в координатной плоскости OXY. Тогда в силу симметрии потенциал может зависеть только от z. А тогда из уравнения Лапласа сразу получается, что потенциал зависит от z линейно. Это и означет однородность поля (напряженность, которая есть градиент потенциала, получается константа).

Если уж совсем на школьном уровне, то можно так. Из симметрии относительно поворотов пластинки следует, что силовые линии перепендикулярны плоскости пластинки (причем везде). Из трансляционной симметрии вдоль пластинки следует, что густота силовых линий везде одинакова. В итоге поле однородно.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1173650 писал(а):

А тогда из уравнения Лапласа

Это тоже не на пальцах :-)

(И мне кажется, телесные углы несколько проще уравнения Лапласа...)

[wide]

Alex-Yu в сообщении #1173650 писал(а):

Пусть плоскось лежит в координатной плоскости OXY. Тогда в силу симметрии потенциал может зависеть только от z.

Но ведь потенциал может и не зависеть от $z$, либо зависимость может быть нелинейная? Как доказать это?

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1173650 писал(а):

Если уж совсем на школьном уровне, то можно так. Из симметрии относительно поворотов пластинки следует, что силовые линии перепендикулярны плоскости пластинки (причем везде). Из трансляционной симметрии вдоль пластинки следует, что густота силовых линий везде одинакова. В итоге поле однородно.

Нету трансляций поперёк пластинки. Так что, так или иначе придётся вспомнить Гаусса.

wide в сообщении #1173655 писал(а):

Но ведь потенциал может и не зависеть от $z$, либо зависимость может быть нелинейная? Как доказать это?

Уравнение Лапласа, вам же сказали. Оно вырождается в $d^2\varphi(z)/dz^2=0,$ а это вы, я надеюсь, решить сможете.

[Alex-Yu]

wide в сообщении #1173655 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #1173650 писал(а):

Пусть плоскось лежит в координатной плоскости OXY. Тогда в силу симметрии потенциал может зависеть только от z.

Но ведь потенциал может и не зависеть от $z$, либо зависимость может быть нелинейная? Как доказать это?

Не может он нелинейно зависеть от z !!! Это противоречит уравнению Лапласа.

Случай, когда потенциал вообще ни от чего не зависит (константа) соответствует незаряженной пластинке (напряженность поля везде просто ноль).

-- Пт дек 02, 2016 22:40:54 --

Munin в сообщении #1173656 писал(а):

Нету трансляций поперёк пластинки. Так что, так или иначе придётся вспомнить Гаусса.

А никто и не говорил о трансляциях ПОПЕРЕК пластинки. Речь шла про трансляции вдоль.

Да, конечно, в школьном доказательстве неявно используется тот факт, что силовые линии нигде (кроме зарядов, а они только на пластинке) оборваться не могут. Что по существу есть школьная, словесная, форма уравнения ${\rm div} \, {\bf E} =0$. В некотором смысле это уравнение, в свою очередь, и есть уравнение Лапласа, просто выраженное через напряженность, а не потенциал.

-- Пт дек 02, 2016 22:42:36 --

Munin в сообщении #1173654 писал(а):

(И мне кажется, телесные углы несколько проще уравнения Лапласа...)

Не, не проще. Там воображение нужно напрягать. Впрочем, на вкус и цвет...

[tohaf]

Т.е. получается, для того, чтобы получить формулу
$E$ = $\kappa$ $\frac{2\pi\sigma}{\varepsilon}$
рассматривается бесконечная плоскость, у которой в любой точке напряженность одинакова. И в результате можно говорить, что напряженность поля плоскости (вообще любой, получается?!) будет зависеть только от среды и поверхностного заряда.

Тогда такой вопрос:
Заряженный лист фольги имеет те же размеры, что и лист бумаги. Можно ли определить напряженность электрического поля, созданного листом, на расстоянии 0,5 см от него, используя формулу $E$ = $\kappa$ $\frac{2\pi\sigma}{\varepsilon}$ ?

Получается, что нельзя? Или можно, но только зная заряд-площадь/поверхностную плотность заряда и допустив, что лист у нас бесконечно тонкий, ведь иначе площадь поверхности листа должна быть равна удвоенно площади одной из сторон листа? Да и вообще, не сказано где именно находится точка изучаемая.
Полный заряд внутри цилиндра тут равен не $2$\sigma$S $, а $\sigma$S $ , потому что это плоскость бесконечно тонкая, т.е. если это были бы электроны, они располагались бы в один слой.

[rustot]

tohaf в сообщении #1174309 писал(а):

рассматривается бесконечная плоскость, у которой в любой точке напряженность одинакова.

Не напряженность, а плотность заряда одинаковая. А однородное поле - следствие

tohaf в сообщении #1174309 писал(а):

Заряженный лист фольги имеет те же размеры, что и лист бумаги. Можно ли определить напряженность электрического поля, созданного листом, на расстоянии 0,5 см от него, используя формулу $E$ = $\kappa$ $\frac{2\pi\sigma}{\varepsilon}$ ?

Только если для получения оценочного приближенного результата.

Во-первых очевидные изменения поля от того что часть зарядов за пределами листа по сравнению с бесконечной плоскостью исчезла и перестала вносить свой вклад в поле. Во-вторых, если лист именно проводящий, то заряд расположится по нему не равномерно, а стечется преимущественно к кромке, что в общем то отчасти компенсирует первый эффект делая поле у поверхности в центре листа более близким к однородному, но одновременно уменьшив его по величине. Вам нужно будет в формулу в качестве плотности заряда подставлять не суммарный заряд деленный на площадь листа, а меньшую величину