2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение23.04.2008, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Sonic86 писал(а):
1. Доказать, что уравнение $x^3+y^3+1=z^3$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Нашёл одно параметрическое решение с помощью компа. Пока выкладывать не буду. Можно ли его найти без перебора, красиво? Для меня этот вопрос остаётся открытым.

Добавлено спустя 20 минут 6 секунд:

Понял, как надо решать 1-ю.
Ищем однопараметрическое семейство решений в виде:
$$(C-A)^3 + (B-1)^3 + 1 = C^3$$,
где A, B, C --- одночлены разных степеней от n, т.е. $A = p_an^{q_a}$, $B = p_bn^{q_b}$, $C = p_cn^{q_c}$, причём $q_a$, $q_b$, $q_c$ попарно различны. Далее раскрываем скобки и приравниваем подобные члены. В итоге получается совместная система.

Может быть, и со второй нечто подобное получится...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2008, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
А вот ещё, по простоте написания и по сложности решения не уступающее БТФ, уравнение в целых числах
$$x^2 -y^3=1$$
Оно имеет очевидное решение
$$x=3, y=2$$
Но больше решений не найдено и не доказано, что их нет.
p.s.Впрочем, пользуюсь своими давнишними сведениями. Может проблема уже и решена.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2008, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Ранг эллиптической кривой $x^2=y^3+1$ равен нулю, поэтому кроме
1. (-1, 0)
2. (3, 2)
3. (-3, 2)
4. (1, 0)
5. (0, -1)
решений нет. Вот ссылка.

Добавлено спустя 7 минут 7 секунд:

worm2 писал(а):
Sonic86 писал(а):
1. Доказать, что уравнение $y^3+x^3+1=z^3$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Нашёл одно параметрическое решение с помощью компа. Пока выкладывать не буду. Можно ли его найти без перебора, красиво? Для меня этот вопрос остаётся открытым.

Это решено Рамануджаном.
Вот ссылка

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.04.2008, 00:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Коровьев писал(а):
А вот ещё, по простоте написания и по сложности решения не уступающее БТФ, уравнение в целых числах
$$x^2 -y^3=1$$
Оно имеет очевидное решение
$$x=3, y=2$$
Но больше решений не найдено и не доказано, что их нет.
p.s.Впрочем, пользуюсь своими давнишними сведениями. Может проблема уже и решена.

http://wain.mi.ras.ru/cp/
В частности, это уравнение было разобрано ещё Эйлером. Что-то больно уж давнишние Вас сведения. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.04.2008, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Ну, до Рамануджана мне как до Луны, но 2-ю (каюсь, опять не без помощи компа) решил:

Sonic86 писал(а):
2. Доказать, что уравнение $x^3+y^3+z^3=2$ имеет бесконечно много решений в целых числах.

Ищем решение в виде x = 1-A, y = 1+A, z = B, где A и B --- одночлены разных степеней от n, подставляем, и у нас получается: $(1-6n^3)^3+(1+6n^3)^3-(6n^2)^3=2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.04.2008, 16:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Точно-точно, первая решается примерно как и вторая, очень коротко. Но это надо увидеть :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2008, 14:12 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Можно ли доказать, что последовательность $2^{[nlog_2 3]+1}-3^n$ является возрастающей?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2008, 14:20 


17/01/08
110
Sonic86 писал(а):
Можно ли доказать, что последовательность $2^{[nlog_2 3]+1}-3^n$ является возрастающей?

Да, так и есть. Распиши разность.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2008, 14:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Нет. Так как это не верно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2008, 11:17 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Почему неверно? А если начиная с какого-либо номера?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2008, 11:42 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Sonic86 писал(а):
Можно ли доказать, что последовательность $2^{[nlog_2 3]+1}-3^n$ является возрастающей?

Знаменатели подходящих сверху к $\log_2 3$ дробей являются контр-примерами. То есть:
n = 5, 41, 306, 15601, 79335, 190537, 10781274, 171928773, 397573379, ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2008, 12:49 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Ага, про не возрастание понял.
А можно ли доказать, что $\lim \limits_{n \to \infty} {2^{[nlog_2 3]+1}-3^n} = \infty$ ?
Вроде она растет экспоненциально.
Есть вероятностные соображения, но их использовать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2008, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Sonic86 писал(а):
А можно ли доказать, что $\lim \limits_{n \to \infty} {2^{[nlog_2 3]+1}-3^n} = \infty$ ?

Можно доказать, что $2^{[nlog_2 3]+1}-3^n>3^nn^{-c}$ с некоторой постоянной $c$ (при $n\geqslant2$).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2008, 15:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
RIP писал(а):
Можно доказать, что $2^{[nlog_2 3]+1}-3^n>3^nn^{-c}$ с некоторой постоянной $c$ (при $n\geqslant2$).

Это утверждение эквивалентно тому, что для хорошего приближения сверху числа $log_23$ рациональным числом $\frac pq $ выполняется $p-qlog_23>\frac{1}{q^c}$.
Я не в курсе, действительно это доказано?
Мне известно только теорема Рота о приближении алгебраических чисел х, когда $|p-qx|>\frac{A(\epsilon)}{q^{1+\epsilon}}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2008, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Руст писал(а):
Я не в курсе, действительно это доказано?

Это следует из теоремы про линейные формы от логарифмов алгебраических чисел (в данном случае $\log2$ и $\log3$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group