Элементарная задача по теории чисел

[worm2]

Sonic86 писал(а):

1. Доказать, что уравнение $x^3+y^3+1=z^3$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Нашёл одно параметрическое решение с помощью компа. Пока выкладывать не буду. Можно ли его найти без перебора, красиво? Для меня этот вопрос остаётся открытым.

Добавлено спустя 20 минут 6 секунд:

Понял, как надо решать 1-ю.
Ищем однопараметрическое семейство решений в виде:

$$(C-A)^3 + (B-1)^3 + 1 = C^3$$

,
где A, B, C --- одночлены разных степеней от n, т.е. $A = p_an^{q_a}$, $B = p_bn^{q_b}$, $C = p_cn^{q_c}$, причём $q_a$, $q_b$, $q_c$ попарно различны. Далее раскрываем скобки и приравниваем подобные члены. В итоге получается совместная система.

Может быть, и со второй нечто подобное получится...

[Коровьев]

А вот ещё, по простоте написания и по сложности решения не уступающее БТФ, уравнение в целых числах

$$x^2 -y^3=1$$

Оно имеет очевидное решение

$$x=3, y=2$$

Но больше решений не найдено и не доказано, что их нет.
p.s.Впрочем, пользуюсь своими давнишними сведениями. Может проблема уже и решена.

[juna]

Ранг эллиптической кривой $x^2=y^3+1$ равен нулю, поэтому кроме
1. (-1, 0)
2. (3, 2)
3. (-3, 2)
4. (1, 0)
5. (0, -1)
решений нет. Вот ссылка.

Добавлено спустя 7 минут 7 секунд:

worm2 писал(а):

Sonic86 писал(а):
1. Доказать, что уравнение $y^3+x^3+1=z^3$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Нашёл одно параметрическое решение с помощью компа. Пока выкладывать не буду. Можно ли его найти без перебора, красиво? Для меня этот вопрос остаётся открытым.

Это решено Рамануджаном.
Вот ссылка

[RIP]

Коровьев писал(а):

А вот ещё, по простоте написания и по сложности решения не уступающее БТФ, уравнение в целых числах

$$x^2 -y^3=1$$

Оно имеет очевидное решение

$$x=3, y=2$$

Но больше решений не найдено и не доказано, что их нет.
p.s.Впрочем, пользуюсь своими давнишними сведениями. Может проблема уже и решена.

http://wain.mi.ras.ru/cp/
В частности, это уравнение было разобрано ещё Эйлером. Что-то больно уж давнишние Вас сведения.

[worm2]

Ну, до Рамануджана мне как до Луны, но 2-ю (каюсь, опять не без помощи компа) решил:

Sonic86 писал(а):

2. Доказать, что уравнение $x^3+y^3+z^3=2$ имеет бесконечно много решений в целых числах.

Ищем решение в виде x = 1-A, y = 1+A, z = B, где A и B --- одночлены разных степеней от n, подставляем, и у нас получается: $(1-6n^3)^3+(1+6n^3)^3-(6n^2)^3=2$.

[Sonic86]

Точно-точно, первая решается примерно как и вторая, очень коротко. Но это надо увидеть

[Sonic86]

Можно ли доказать, что последовательность $2^{[nlog_2 3]+1}-3^n$ является возрастающей?

[Kid Kool]

Sonic86 писал(а):

Можно ли доказать, что последовательность $2^{[nlog_2 3]+1}-3^n$ является возрастающей?

Да, так и есть. Распиши разность.

[Руст]

Нет. Так как это не верно.

[Sonic86]

Почему неверно? А если начиная с какого-либо номера?

[maxal]

Sonic86 писал(а):

Можно ли доказать, что последовательность $2^{[nlog_2 3]+1}-3^n$ является возрастающей?

Знаменатели подходящих сверху к $\log_2 3$ дробей являются контр-примерами. То есть:
n = 5, 41, 306, 15601, 79335, 190537, 10781274, 171928773, 397573379, ...

[Sonic86]

Ага, про не возрастание понял.
А можно ли доказать, что $\lim \limits_{n \to \infty} {2^{[nlog_2 3]+1}-3^n} = \infty$ ?
Вроде она растет экспоненциально.
Есть вероятностные соображения, но их использовать нельзя.

[RIP]

Sonic86 писал(а):

А можно ли доказать, что $\lim \limits_{n \to \infty} {2^{[nlog_2 3]+1}-3^n} = \infty$ ?

Можно доказать, что $2^{[nlog_2 3]+1}-3^n>3^nn^{-c}$ с некоторой постоянной $c$ (при $n\geqslant2$).

[Руст]

RIP писал(а):

Можно доказать, что $2^{[nlog_2 3]+1}-3^n>3^nn^{-c}$ с некоторой постоянной $c$ (при $n\geqslant2$).

Это утверждение эквивалентно тому, что для хорошего приближения сверху числа $log_23$ рациональным числом $\frac pq $ выполняется $p-qlog_23>\frac{1}{q^c}$.
Я не в курсе, действительно это доказано?
Мне известно только теорема Рота о приближении алгебраических чисел х, когда $|p-qx|>\frac{A(\epsilon)}{q^{1+\epsilon}}.$

[RIP]

Руст писал(а):

Я не в курсе, действительно это доказано?

Это следует из теоремы про линейные формы от логарифмов алгебраических чисел (в данном случае $\log2$ и $\log3$).