Два груза, неподвижная точка подвеса, сила натяжения нити

[Neinstein]

Доброго времени суток всем!

Не могу разобраться с силой (силами?) натяжения нити (нитей?) в задаче. Условия следующие: есть 2 груза разных масс $ m_A $и $m_B$, подвешенных к неподвижной точке, система находится в состоянии покоя. Нити, на которых подвешены данные грузы, невесомы. Требуется найти силу натяжения нити А. Рисунок прилагается.



В ступор, судя по всему, вводит сама сила натяжения нити, её определение. Как я понимаю, натяжение нити возникает, когда есть некоторая сила, неуравновешенная. В данном случае это сила притяжения грузов к Земле. Таким образом, на груз А действует сила тяжести $m_A\vec{g}$, которая уравновешивается силой натяжения нити A $\vec{T}_A$. Точно такая же картина наблюдается и для груза B, подвешенного на нити B, ведь груз A покоится (силы уравновешены), так что груз A теперь является неподвижной точкой, к которой подвешен груз B, т.е. есть 2 силы: $m_B\vec{g}$ и $\vec{T}_B$. Отсюда получаю, пользуясь вторым законом Ньютона:

$m_A\vec{g}+\vec{T}_A+m_B\vec{g}+\vec{T}_B = 0$ (0 справа, поскольку система покоится).

Есть 1 уравнение и 2 неизвестные величины... Так что $ T_A$ я отсюда найти не могу.

По мере того, как пытался отыскать что-то, что помогло бы разобраться, увяз ещё больше. В частности наткнулся на одну задачу с похожим условием:

Два груза, в 10 H и 5 H, висящие на одной верёвке, укреплены на ней в разных местах, причем больший груз висит ниже меньшего. Каково натяжение верёвки, если верхний конец её прикреплён к неподвижной точке?

В данном условии не понимаю, каким образом верёвка может быть одна... Т.е. как подвес осуществляется?

Побродив по форуму, обнаружил, что вопросы, касающиеся силы натяжения нити уже поднимались, но там наткнулся на одну вещь, которую также не получается осознать: было написано, что сила натяжения — это скаляр. Но ведь у неё и направление есть. Я к тому, что сила натяжения нити вызывает ассоциацию с силой реакции опоры в каком-то смысле: как только тело оказалось на какой-то «опоре» и тянется к Земле, в ответ со стороны «опоры» на тело начинает действовать сила реакции опоры. А это величина векторная.

Заранее спасибо!

[DimaM]

Neinstein в сообщении #1172927 писал(а):

Отсюда получаю, пользуясь вторым законом Ньютона:

$m_A\vec{g}+\vec{T}_A+m_B\vec{g}+\vec{T}_B = 0$ (0 справа, поскольку система покоится).

Странное уравнение. Это записана сумма сил, действующих на какое тело?

[Neinstein]

DimaM,

вообще хотел записать для системы тел. Но сейчас понял, что так нельзя.

Для груза A тогда:
$m_A\vec{g}+\vec{T}_A = 0$
И для груза B:
$m_B\vec{g}+\vec{T}_B = 0$ $

А тогда получится, что сила натяжения нити A не зависит от количества грузов (в данном случае будет определяться только массой $m_A$. Но как-то нелогично: нить же всё-таки в реальной жизни рвётся, если её слишком нагрузить.

[DimaM]

Neinstein в сообщении #1172931 писал(а):

Для груза A тогда:
$m_A\vec{g}+\vec{T}_A = 0$

Не-а. К этому грузу привязана снизу нить, натянутая с силой $T_B$.

[Neinstein]

DimaM,

вот этого я и понять не могу: как эта сила возникает? Был груз A, на него действовала сила тяжести, в результате чего родилась сила натяжения нити A. Теперь подвесили к грузу A ещё один груз на другой нити, груз A неподвижен, т.е. я теперь его могу рассматривать в качестве неподвижной точки опоры для груза B, на груз B действует сила тяжести (тут уже $m_B\vec{g}$), в результате чего появляется сила натяжения нити B, которая направлена вверх.

-upd-

По смыслу-то вроде вырисовывается это дело: повесили 2-ой груз на нити, он тянется к Земле, и нить начинает растягиваться. Но тянет-то груз,а не нить...

[DimaM]

Neinstein в сообщении #1172934 писал(а):

на груз B действует сила тяжести (тут уже $m_B\vec{g}$), в результате чего появляется сила натяжения нити B, которая направлена вверх

Груз В действует на нижний конец нити В своим весом (равным в данном случае силе тяжести $m_Bg$), эта сила направлена вниз. Поскольку нить неподвижна, на нее должна действовать равная по величине сила, направленная вверх, со стороны груза А. По третьему закону Ньютона, на груз А действует такая же сила со стороны нити.

Более подробно: в вашей системе четыре объекта - два груза и две нити. Нарисуйте все силы, действующие на каждый из этих объектов.

Заодно вопрос: если к одному концу нити приложена сила $F$, и к другому тоже сила $F$, направленная в противоположную сторону, то чему равна сила натяжения нити? Многие студенты почему-то думают, что $2F$.

[Neinstein]

DimaM,

спасибо большое! 3-ий закон Ньютона.

По поводу вопроса относительно силы натяжения в случае, когда к разным её концам приложены силы $F$, равные по величине и противоположные по направлению — тут работает всё тот же 3-ий закон Ньютона, получается. Только правильно ли я это объясню? Если рассмотреть произвольное сечение нити, то сила $F$, действующая на левый конец, вызовет внутри рассматриваемого сечения силу $-F$. А на другом конце всей нити, поскольку на него действует сила в противоположном направлении, $-F$, но в том же сечении, которое рассматривали ранее, возникнет сила $F$. В общем, все эти силы по модулю равны одной и той же величине $F$. Это и будет сила натяжения. Хотя, судя по моему же объяснению, я сам смутно понял, поскольку обосновать, почему сумма модулей сил (в данном случае $2F$, является неверным ответом. Кстати, насколько я понимаю, в предложенном примере не имеют значения характеристики нити (т.е. она, например, не обязательно должна быть невесомой и нерастяжимой, поскольку силы одинаковы)?

Да, ещё хотелось бы уточнить момент по поводу «векторности» силы натяжения. Получается, что это условность? В том смысле, что она возникает в качестве пары сил.

[Pphantom]

Вообще говоря, если Вам нужно только натяжение нити A, то можно упростить себе жизнь.

На нити висит покоящийся груз с массой $m_A+m_B$. Почему Вас должна интересовать внутренняя структура груза?

[Neinstein]

Pphantom,

хотел разобраться в том, что происходит с силами конкретно. Теперь понял, что можно перейти и к «единому» грузу (пользуясь тем, что нить нерастяжимая и невесомая).

[Pphantom]

Neinstein в сообщении #1172962 писал(а):

Теперь понял, что можно перейти и к «единому» грузу (пользуясь тем, что нить нерастяжимая и невесомая).

А это неважно. Нить B может быть и растяжимой, и весомой, если форма (взаимное расположение частей) "объединенного" груза не меняется со временем. Ну, конечно, массу весомой нити тоже придется учесть.

[Neinstein]

Pphantom,

но если нить растяжима, то силы натяжения на разных её концах не равны, в таком случае ускорение появится ведь. Хотя, с другой стороны, рассматривается же стационарный случай: пусть она и растянулась, но больше с ней ничего не происходит. По крайней мере, в течение какого-то интервала времени представить систему груз А, груз B и нить B в качестве целого не получится.

Кстати говоря, в условиях обычно оговариваются такие характеристики нити, как нерастяжимость и невесомость. Существуют ли они независимо? Как я понимаю, вообще достаточно указать только невесомость нити, т.к. если записать для произвольной нити (растяжимой и обладающей массой) 2-ой закон Ньютона, то получится $m a = \Delta T$, где $\Delta T$ — разница сил натяжения на разных концах нити. Т.е. если $m \rightarrow 0$ (нить невесома), но в то же время растяжима ($\Delta T$ — некоторое конечное число), то $a \rightarrow \infty$, что невозможно. Если же я скажу, что нить нерастяжима, то отсюда ещё не следует, что она невесома. Я прав?

[Pphantom]

Neinstein в сообщении #1172983 писал(а):

но если нить растяжима, то силы натяжения на разных её концах не равны, в таком случае ускорение появится ведь. Хотя, с другой стороны, рассматривается же стационарный случай: пусть она и растянулась, но больше с ней ничего не происходит. По крайней мере, в течение какого-то интервала времени представить систему груз А, груз B и нить B в качестве целого не получится.

Речь именно о стационарном. Если "груз" деформируется, то это неверно.

Neinstein в сообщении #1172983 писал(а):

Кстати говоря, в условиях обычно оговариваются такие характеристики нити, как нерастяжимость и невесомость. Существуют ли они независимо?

Да, конечно.

[wrest]

Neinstein в сообщении #1172983 писал(а):

Кстати говоря, в условиях обычно оговариваются такие характеристики нити, как нерастяжимость и невесомость. Существуют ли они независимо?

Обычно невесомую, но растяжимую нить в задачах называют "идеальная невесомая пружина".