Многосеточный метод решения уравнения Пуассона

[Gickle]

Добрый день, изучаю сейчас численные методы уравнения Пуассона и никак не могу понять суть многосеточных методов.

Как я вижу, что происходит:

Вот мы имеем систему $A x = b$ для нашего уравнения Пуассона и сетку $N \times N$, причём $N = 2^{k}$. Мы делаем первое предположение о решении $\tilde{x}$, после чего:

1. Делаем одну (можно и больше, наверное) итерацию методом Якоби или Гаусса-Зейделя на исходной сетке $h$.
2. Вычисляем невязку $r^{(h)} = b^{(h)} - A^{(h)}\tilde{x}^{(h)}$.
3. Преобразуем полученную невязку в невязку более грубой сетки с помощью соответствующего оператора $I_h^{2h}$: $r^{(2h)} = I_h^{2h} r^{(h)}$
4. Решаем уравнение для погрешности $e$ на грубой сетке: $A^{(2h)} e^{(2h)} = r^{(2h)}$.
5. Преобразуем полученную ошибку на исходную сетку $h$: $e^{(h)} = I_{2h}^{h} e^{(2h)}$. После чего делаем поправку к нашему решению: $\tilde{x}'^{(h)} = \tilde{x}^{(h)} + e^{(h)}$.
6. Повторяем шаг 1.

У меня две основных проблемы. Во-первых, я не до конца осознаю мотивацию (ну, то есть я знаю, что этот метод существенно быстрее методов Якоби или Гаусса-Зейделя, но не очнь понимаю почему). А во-вторых, мне не до конца понятен шаг 4 и сопряжённый с ним V-цикл (или ещё более сложные вещи). То есть обычно пишут, что на шаге 4 нам, по сути, нужно опять решать исходную задачу, хотя и с другой матрицей $A^{(2h)}$, которую можно по-разному аппроксимировать. Поэтому здесь опять можно вызвать алгоритм 1-6. Вопрос, когда остановиться? Мне казалось, что условие остановки процедуры - величина погрешности. Но здесь, видимо, что-то иное имеется в виду (мол, погружаемся всё "ниже и ниже" по разрешению сетки, а потом всплываем). Но мне это как-то не очень понятно. Может ли кто-нибудь совсем на пальцах объяснить, что и зачем делается в этих multigrid-методах?