Интегральная формула Коши для кватернионов.

[Руст]

Цитата:

Совершенно неочевидный факт.

Факт очевидный. Если $L$ некоторая подалгебра матриц над алгеброй $M$ и $K$ подалгебра алгебры $M$, то ограничение $L$ на случай с элементами $K$ будет подалгеброй $L$. Взяв в качестве $K$ алгебру кватернионов получим ассоциативную подалгебу $L$ являющиеся расширением кватернионов, что невозможно.

[STilda]

Тут не однократно звучали фразы, что "комплексные числа это пуп-земли" и про эквивалентность комплексного анализа и анализа кватернионного/бикватернионного/еще какого-нибудь. Но это не так и заблуждение в следующем.
Приведенная формула Коши для кватернионов позволяет вычислять значения функции $f$ на кватернионе $q$. Но, функция $f$ далеко не любая $f_q:\mathbb{H}\to\mathbb{H}$, а очень специфическая: $f_z:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. Так что, например вычислить $f_1(q)=e^{q+k}$, $f_2(q)=Log(k q)$, $f_3(q)=\sqrt{q+2j}$ мы по такой формуле не можем. Поэтому говорить об эквивалентности анализа не приходится.

[Scholium]

STilda писал(а):

Тут не однократно звучали фразы, что "комплексные числа это пуп-земли" и про эквивалентность комплексного анализа и анализа кватернионного/бикватернионного/еще какого-нибудь. Но это не так и заблуждение в следующем.
Приведенная формула Коши для кватернионов позволяет вычислять значения функции $f$ на кватернионе $q$. Но, функция $f$ далеко не любая $f_q:\mathbb{H}\to\mathbb{H}$, а очень специфическая: $f_z:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. Так что, например вычислить $f_1(q)=e^{q+k}$, $f_2(q)=Log(k q)$, $f_3(q)=\sqrt{q+2j}$ мы по такой формуле не можем. Поэтому говорить об эквивалентности анализа не приходится.

Рад, что эта тема Вас заинтересовала. Только вот имеет место

Теорема об изоморфизме гиперкомплексных чисел Кэли-Диксона комплексным числам.

Фактор-пространство гиперкомплексных чисел Кэли-Диксона, в том числе кватернионов, октав и седенионов, по сферическим поверхностям в пространстве их векторных (мнимых) единиц, изоморфно комплексной плоскости.

Эта теорема позволяет естественным образом индуцировать комплексный анализ на системы гиперчисел с точностью до порядка множителей, порядка следования скобок в произведении неассоциативных гиперкомплексных чисел и нормированной векторной единицы их мнимой части.

Т.е., верна

Теорема об индуцировании комплексного анализа на системы гиперкомплексных чисел Кэли-Диксона.

Изоморфизм фактор-пространства гиперкомплексных чисел Кэли-Диксона, по сферическим поверхностям в пространстве их векторных (мнимых) единиц, комплексной плоскости, индуцирует комплексный анализ в пространстве этих чисел с точностью до эквивалентности гиперчисел, принадлежащих одной сферической поверхности их мнимых единиц, порядка следования и порядка умножения множителей, а также нормированной векторной единицы их мнимой части.

Отсюда также следует фраза: «с точностью до объединения гиперчисел». Например, если произведение двух комплексных констант объединить в одно число, то это индуцирует коммутацию двух соответствующих им гиперчисел, что приведет к ошибке.

Как видно из этих утверждений комплексные числа играют весьма существенную роль в гиперкомплексных системах. А назвать это свойство «пупом Земли» или не назвать, это уже не суть важно .

Теперь относительно Ваших остальных вопросов. Такого рода индуцированный анализ на гиперчислах мы называем изоморфным анализом на этих числах. Существуют, конечно, и неизоморфные анализы, вроде кватернионного анализа Коши-Фютера. Но является ли, скажем, этот анализ более эффективным в практическом, вычислительном плане, чем изоморфный анализ? Очень сомневаюсь. А поскольку помимо теории комплексных аналитических функций существуют еще теории неаналитических или обобщенно аналитических в $\mathbb{C}$ функций, то что, например, мешает нам индуцировать и эти теории на гиперкомплексные системы чисел. По-моему, вполне конструктивный путь, хотя он и не отменяет пути построения неизоморфных анализов.

Относительно Ваших примеров. Они эквивалентны следующим операциям для $q_1, q_2 \in \mathbb{H}$, $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$:

$f_1(q_1, q_2)=e^{q_1+q_2}$, $f_2(q_1, q_2)=Log(q_2 q_1)$, $f_3(q_1, q_2)=\sqrt{q_1+q_2}$,

где $q_1$ - переменная величина, а $q_2$ - соответствующая константа.
Этим гиперчислам соответствуют комплексные значения

$f_1(z_1, z_2)=e^{z_1+z_2}$, $f_2(z_1, z_2)=Log(z_2 z_1)$, $f_3(z_1, z_2)=\sqrt{z_1+z_2}$,

где также $z_1$ - переменная величина, а $z_2$ - соответствующая константа. Формулы переходы указывались неоднократно.

Что можно сделать с этими функциями от $z$? Да практически ничего, даже если бы это были бы независимые от кватернионов значения. Поскольку $z_2$ - константа, то можно было бы вычислить ее логарифм или экспоненту, что в данном случае малоинтересно. Однако при соответствии комплексных чисел кватернионам этого делать нельзя, так как иначе мы индуцируем коммутацию, что будет ошибкой.

Другое дело, если кватернионы $q_1$ и $q_2$ можно объединить в один. Если, скажем,

$q = x_0 + i x_1 + j x_2 + k x_3$,

тогда

$q + k = x_0 + i x_1 + j x_2 + k (x_3 + 1)$,

$k q = k x_0 + k i x_1 + k j x_2 + k k x_3 = -x_3 - i x_2 + j x_1 + k x_0$,

и

$q + 2 j = x_0 + i x_1 + j (x_2 + 2) + k x_3$.

При этом мы уже будем иметь дело с одним кватернионом, для которого можно непосредственно применить формулу гиперчисел. Так что Ваши примеры, фактически ничего не опровергают и отнюдь не умоляют индуцированного анализа на гиперчислах .

[STilda]

Честно говоря, сформулированные теоремы абсолютно нереально понять. Можете на пальцах объяснить, что значит "изоморфный анализ", как можно сравнить "возможности анализов" и что понимается под "анализом" в этих словосочетаниях?

-- Вт июн 08, 2010 11:36:24 --

И вот этот трюк, с переходом от функции от одной переменной к функции от двух переменных. Фактически, кватернионную функцию от одной переменной вы вычислили переходом к комплекснозначной функции от двухкомпонентного комплексного вектора. А вектор не эквивалентен скаляру. Поэтому анализ кватернионный (возможно и) эквивалентен анализу комплекснозначных двухмерных векторов. Но никак не комплекснозначному.

[Scholium]

STilda писал(а):

Честно говоря, сформулированные теоремы абсолютно нереально понять. Можете на пальцах объяснить, что значит "изоморфный анализ", как можно сравнить "возможности анализов" и что понимается под "анализом" в этих словосочетаниях?

В изоморфном (индуцированном) анализе, например на кватернионах, можно вычислять также дифференциалы и интегралы от кватернионных функций. Пусть, например,

$f(q_1, q_2) = i q_1^3 j q_2 k$. (C1)

Тогда

$\frac{\partial}{\partial q_1} f(q_1, q_2) = \frac{\partial}{\partial q_1} \left (i q_1^3 j q_2 k \right) = 3 i q_1^2 j q_2 k$ (C2)

и

$\frac{\partial}{\partial q_2} f(q_1, q_2) = \frac{\partial}{\partial q_2} \left (i q_1^3 j q_2 k \right ) = i q_1^3 j k = i q_1^3 i$. (C3)

Также, например,

$\int \limits_{-k}^{i+j} \frac{\partial}{\partial q_1} f(q_1, q_2)~d q_2 = \int \limits_{-k}^{i+j} 3 i q_1^2 j q_2 k~d q_2 = 3 i q_1^2 j \frac{(i+j)^2-(-k)^2}{2} k = 3 i q_1^2 \frac{2 i - j}{2}$. (C4)

Далее, пусть

$q = x + i y_1 + j y_2 + k y_3 = x + \frac{i y_1 + j y_2 + k y_3}{\sqrt{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2}} \sqrt{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2} = x + \frac{q - x}{| q - x |} | q - x |$

или

$q = x + \mathcal{E} | q - x |$, (C5)

где

$\mathcal{E} = \frac{i y_1 + j y_2 + k y_3}{\sqrt{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2}} = \frac{q - x}{| q - x |}$, (C6)

причем

$\mathcal{E}^2 = -1$. (C7)

при условии

$\sqrt{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2} = | q - x | \neq 0$. (C8)

Положим, по определению,

$Re(q) = x$ (C9)

и

$Im(q) = y = | q - x | =\sqrt{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2}$. (C10)

Также имеем

$q = \text{Re}(q) + \mathcal{E} \text{Im}(q) = x + \mathcal{E} y$. (C11)

Тогда, скажем, условия Коши-Римана для $f(z) \in \mathbb{C}$, для той же функции $f(q) \in \mathbb{H}$ примут вид

$\frac{\partial}{\partial x} \text{Re}(f(q)) = \frac{\partial}{\partial y} \text{Im}(f(q))$ (C12)

и

$\frac{\partial}{\partial y} \text{Re}(f(q)) = -\frac{\partial}{\partial x} \text{Im}(f(q))$, (C13)

где $x$ и $y$ определяются из условий (C5)-(C11).

Аналогично, уравнения Лапласа для гармонических функций примут вид

$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \text{Re}(f(q)) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \text{Re}(f(q)) = 0$ (C14)

и

$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \text{Im}(f(q)) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \text{Im}(f(q)) = 0$. (C15)

И так далее, реализацию индуцированного (изоморфного) анализа на гиперкомплексных числах можно продолжать неограниченно.

STilda писал(а):

И вот этот трюк, с переходом от функции от одной переменной к функции от двух переменных. Фактически, кватернионную функцию от одной переменной вы вычислили переходом к комплекснозначной функции от двухкомпонентного комплексного вектора. А вектор не эквивалентен скаляру. Поэтому анализ кватернионный (возможно и) эквивалентен анализу комплекснозначных двухмерных векторов. Но никак не комплекснозначному.

Это не трюк. С точки зрения изоморфизма анализов, кватернионные или даже чисто комплексные постоянные ничем не отличаются от кватернионных переменных. Хотя бы потому, что их игнорирование может индуцировать коммутацию, там, где ее не должно быть. Например, пусть $i$ - мнимая комплексная единица (впрочем, не отличающаяся от аналогичной мнимой единицы для кватернионов). Тогда, из функции $\,i q$ мы получаем $\,i z$. Если полагать, что к кватернионам имеет отношение только число $z$, то тогда из условия $\,i z = z i$, следует, что $\,i q = q i$, что, естественно, неверно. Коммутировать с гиперкомплексными числами (четвертого порядка и выше) могут только действительные числа. Поэтому все гиперкомплексные константы и переменные, не являющиеся действительными числами, должны быть сопоставленными с различными комплексными числами, соответственно, константами и переменными. То, что это делать можно, мы уже продемонстрировали на этом и другом математическом сайте, ссылки, можно найти в этой теме. А поскольку анализ для комплексных функций многих переменных также имеет место быть, то он совершенно аналогично индуцируется на гиперкомплексный анализ многих переменных.

[Scholium]

Специально для публикации полученных результатов я организовал сайт. Там постепенно будут выкладываться новые материалы и обновляться старые. Кстати, основной pdf-файл этой темы можно скачать здесь.

[asteroid]

Scholium не доказывает, являются ли функции, получаемые по его интегральной формуле, кватернионно-голоморфными («аналитическими»), аналогично тому как комплексная интегральная формула Коши дает комплексно-голоморфные функции. Для практики, как все понимают, важны именно голоморфные кватернионные функции, т. к. они, подобно комплексным голоморфным, должны представлять физические поля, но уже в пространстве. Уравнения (С12) и (С13) у Scholium не могут рассматриваться как условия Коши-Римана для кватернионной функции $f(q)$. Фактически они сводят кватернионный анализ, который должен быть некоммутативным, к коммутативному комплексному варианту. Построение кватернионных голоморфных функций - сложнейший в анализе вопрос, которому я хочу посвятить отдельную тему для дискуссии.

-- 28.11.2016, 15:40 --

[sergei1961]

Разве анализ Клиффорда, по которому написаны уйма книг, всё это не включает?
Вот например: Широков Д.С. Алгебры Клиффорда и спиноры.

[arseniiv]

NB: тема пробуждена после ста лет одиночества шести лет молчания. (Кстати говоря, в стартовом её посте выводятся формулы для экспоненты, логарифма и корня из логарифма — так, например, я смог их вывести как-то раз без всей этой машинерии, манипулируя рядами, здравым смыслом и ещё чем-то, о чём уже не упомнить, но это было явно проще.)

[asteroid]

Выражения для кватернионных элементарных функций (напр., экспонента, логарифм) можно вывести как угодно, однако будут ли они голоморфны - вот в чем вопрос, как я понимаю! Комплексная алгебра адекватно описывает коммутативные повороты векторов на плоскости и именно поэтому дает красивые и простые результаты. Кватернионная алгебра - ее обобщение- адекватно описывает некоммутативные повороты векторов в пространстве и должна давать эффективный анализ без каких-либо обобщений. Клиффордова алгебра здесь избыточна и как обобщение даже опасна, т. к. может внести чуждые трехмерному (физическому) пространству, грассмановы, например, элементы. Мне не хочется уходить в дискуссию по этому поводу, т. к. я готовлю сйчас материалы к специальной теме о построении кватернионно-голоморфных функций. Там можно будет подискутировать.

[arseniiv]

asteroid в сообщении #1172752 писал(а):

Выражения для кватернионных элементарных функций (напр., экспонента, логарифм) можно вывести как угодно, однако будут ли они голоморфны - вот в чем вопрос, как я понимаю!

Так это отдельный вопрос уже.

asteroid в сообщении #1172752 писал(а):

Клиффордова алгебра здесь избыточна и как обобщение даже опасна, т. к. может внести чуждые трехмерному (физическому) пространству, грассмановы, например, элементы.

Вот это уже ерунда какая-то. Ещё скажите, что тензорная алгебра опасна. А она повсюду в физике проникла и обратно не уйдёт, между прочим. И это вопрос для ещё одной отдельной темы, т. к. ни голоморфности, ни выражения функций он не касается.

[sergei1961]

Аналитические функции кватернионов- 9200+ ссылок в вике, полно статей. Мне кажется, всё давно известно, но я не специалист, конечно.

[asteroid]

Уточните конкретнее ссылку нп ВиКи. И извините. По уважительной причине задержу ответ на неопределенное время.

[asteroid]

Однако же Вы не станете использовать клиффордову алгебру вместо комплексной для построения анализа на плоскости?

[asteroid]

Я открыл новую тему: "Метод получения кватернионно-голоморфных функций". Приглашаю всех интересующихся.