предел рекуррентно заданной последовательности

[tata00tata]

Здравствуйте. Задание. Найти предел последовательности $a_1=8, a_{n+1}=a_n+{(\frac{17}{26})}^n$
Я рассуждала так $a_{n+1}-a_n={(\frac{17}{26})}^n$ правая часть положительна при любом $n$следовательно последовательность возрастает или надо сделать вывод,что она не убывает? тогда потом нужно доказать, что она ограничена сверху, т.е. не превосходит какого-либо числа. Вот тут я сомневаюсь, что дальше правильно рассуждаю, может пределом будет 8? Я ещё так думала, предположим, что предел существует, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a$, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}a_n+\lim\limits_{n\to\infty}{(\frac{17}{26})}^n $; $a=a+0$ А что дальше? Или я вообще всё в кашу навалила. Спасибо.

[bot]

tata00tata в сообщении #1172743 писал(а):

может пределом будет 8

Как такое возможно, если $a_1=8$ и $a_{n+1}>a_n?$

[ewert]

tata00tata в сообщении #1172743 писал(а):

тогда потом нужно доказать, что она ограничена сверху

Поскольку предел нужно найти -- нет особой необходимости предварительно доказывать его существование.

Выпишите второй член, третий, четвёртой... а там уж и явную формулу для общего члена.

[tata00tata]

Так правильно?
$a_2=8+{(\frac{17}{26})}^2$
$a_3=8+{(\frac{17}{26})}^2+{(\frac{17}{26})}^3=8+{(\frac{17}{26})}^2(1+\frac{17}{26})$
$a_n=8+{(\frac{17}{26})}^2(1+\frac{17}{26}+...+{(\frac{17}{26})}^{n-2})$
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}8+\lim\limits_{n\to\infty}{(\frac{17}{26})}^2\cdot\frac{26}{9}$
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=9\frac{55}{234}$
Дробь $\frac{26}{9}$ получилась по формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии

[Otta]

tata00tata

tata00tata в сообщении #1172865 писал(а):

Так правильно?

Нет, $a_2$ посчитали неверно, с этого все и началось.

[ewert]

tata00tata в сообщении #1172865 писал(а):

Дробь $\frac{26}{9}$ получилась по формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Ну, примерно так. Хоть арифметику я и не проверял -- лень (может, кто другой проверит). Но идея правильна: речь, конечно, о прогрессии.

Единственный нюанс: лучше бы не ссылаться на готовую "формулу для бесконечной", а честно выписать формулу для конечной. Она вполне школьная. И уже в этой формуле переходить к пределу (что вполне тривиально).

[tata00tata]

Спасибо большое, поняла, ошибку увидела.