2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение29.11.2016, 14:05 
Здравствуйте. Задание. Найти предел последовательности $a_1=8, a_{n+1}=a_n+{(\frac{17}{26})}^n$
Я рассуждала так $a_{n+1}-a_n={(\frac{17}{26})}^n$ правая часть положительна при любом $n$следовательно последовательность возрастает или надо сделать вывод,что она не убывает? тогда потом нужно доказать, что она ограничена сверху, т.е. не превосходит какого-либо числа. Вот тут я сомневаюсь, что дальше правильно рассуждаю, может пределом будет 8? Я ещё так думала, предположим, что предел существует, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a$, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}a_n+\lim\limits_{n\to\infty}{(\frac{17}{26})}^n
$; $a=a+0$ А что дальше? Или я вообще всё в кашу навалила. Спасибо.

 
 
 
 Re: предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение29.11.2016, 14:09 
Аватара пользователя
tata00tata в сообщении #1172743 писал(а):
может пределом будет 8

Как такое возможно, если $a_1=8$ и $a_{n+1}>a_n?$

 
 
 
 Re: предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение29.11.2016, 14:27 
tata00tata в сообщении #1172743 писал(а):
тогда потом нужно доказать, что она ограничена сверху

Поскольку предел нужно найти -- нет особой необходимости предварительно доказывать его существование.

Выпишите второй член, третий, четвёртой... а там уж и явную формулу для общего члена.

 
 
 
 Re: предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение29.11.2016, 22:13 
Так правильно?
$a_2=8+{(\frac{17}{26})}^2$
$a_3=8+{(\frac{17}{26})}^2+{(\frac{17}{26})}^3=8+{(\frac{17}{26})}^2(1+\frac{17}{26})$
$a_n=8+{(\frac{17}{26})}^2(1+\frac{17}{26}+...+{(\frac{17}{26})}^{n-2})$
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}8+\lim\limits_{n\to\infty}{(\frac{17}{26})}^2\cdot\frac{26}{9}$
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=9\frac{55}{234}$
Дробь $\frac{26}{9}$ получилась по формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии

 
 
 
 Re: предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение29.11.2016, 22:21 
tata00tata
tata00tata в сообщении #1172865 писал(а):
Так правильно?

Нет, $a_2$ посчитали неверно, с этого все и началось.

 
 
 
 Re: предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение29.11.2016, 22:23 
tata00tata в сообщении #1172865 писал(а):
Дробь $\frac{26}{9}$ получилась по формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Ну, примерно так. Хоть арифметику я и не проверял -- лень (может, кто другой проверит). Но идея правильна: речь, конечно, о прогрессии.

Единственный нюанс: лучше бы не ссылаться на готовую "формулу для бесконечной", а честно выписать формулу для конечной. Она вполне школьная. И уже в этой формуле переходить к пределу (что вполне тривиально).

 
 
 
 Re: предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение29.11.2016, 23:20 
Спасибо большое, поняла, ошибку увидела.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group