Сумма любых двух - факториал

[Ktina]

а) Существуют ли три различных нечётных числа таких, что сумма любых двух из них является факториалом натурального
числа?

б) А существуют ли 4 таких числа?

[wrest]

Ktina в сообщении #1172440 писал(а):

Существуют ли три различных нечётных числа таких, что сумма любых двух из них является факториалом натурального
числа?

Да, например $-345;351;369$

[whitefox]

714 и 696 факториалами каких натуральных чисел являются?

[wrest]

whitefox
Первое число это "минус триста сорок пять", так что суммы 714 и 696 не получаются, а получаются 6, 24 и 720.

[Aritaborian]

Хитро придумано Я тоже не сразу понял, что первое число отрицательное; подумал, что это тире, но через полминуты всё встало на свои места.

[whitefox]

wrest в сообщении #1172472 писал(а):

Первое число это "минус триста сорок пять"

Ну тогда, да.

[wrest]

Aritaborian в сообщении #1172473 писал(а):

Хитро придумано

В натуральных нечетных числах решений похоже нет, поскольку при любых трех возрастающих факториалах, третий всегда больше суммы первых двух ($0!$ исключаем, факториалы считаем с единицы), а первое (наименьшее) число искомой тройки равно половине разности суммы двух меньших факториалов и наибольшего факториала.
В нашем случае это $\dfrac{3!+4!-5!}{2}=-345$

[Ktina]

wrest в сообщении #1172472 писал(а):

whitefox
Первое число это "минус триста сорок пять", так что суммы 714 и 696 не получаются, а получаются 6, 24 и 720.

Тоже неплохо. У меня было -47, 49 и 71.
Осталось доказать, что 4 числа нельзя. Подсказка первая: это не так трудно.

[covax]

У любой тройки решений - одно число отрицательное. Значит, у возможной четверки чисел должно быть минимум два отрицательных, а их сумма уже не подходит.

А зачем нечетность? Разве что отпадет самый простой вариант $2!\,3!\,4!$

[Ktina]

covax в сообщении #1172704 писал(а):

А зачем нечетность?

За печкой.
Среди любых трёх нечётных чисел найдутся два, сумма которых не кратна 4.

[wrest]

Ktina в сообщении #1172708 писал(а):

Среди любых трёх нечётных чисел найдутся два, сумма которых не кратна 4.

Насколько это критично? Попарные суммы четырех различных чисел (в т.ч. 4-х нечетных) необязательно различны (в отличие от попарных сумм трех различных чисел).
А вот довод о том, что среди тройки одно должно быть отрицательным и два положительными, а четверку так чтобы в ней все тройки были такие, не наберешь, мне кажется правильным.