2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 16:32 
Аватара пользователя
а) Существуют ли три различных нечётных числа таких, что сумма любых двух из них является факториалом натурального
числа?

б) А существуют ли 4 таких числа?

 
 
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:36 
Ktina в сообщении #1172440 писал(а):
Существуют ли три различных нечётных числа таких, что сумма любых двух из них является факториалом натурального
числа?

Да, например $-345;351;369$

 
 
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:42 
Аватара пользователя
714 и 696 факториалами каких натуральных чисел являются?

 
 
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:43 
whitefox
Первое число это "минус триста сорок пять", так что суммы 714 и 696 не получаются, а получаются 6, 24 и 720.

 
 
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:44 
Аватара пользователя
Хитро придумано :appl: Я тоже не сразу понял, что первое число отрицательное; подумал, что это тире, но через полминуты всё встало на свои места.

 
 
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:47 
Аватара пользователя
wrest в сообщении #1172472 писал(а):
Первое число это "минус триста сорок пять"

Ну тогда, да. :D

 
 
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:59 
Aritaborian в сообщении #1172473 писал(а):
Хитро придумано

В натуральных нечетных числах решений похоже нет, поскольку при любых трех возрастающих факториалах, третий всегда больше суммы первых двух ($0!$ исключаем, факториалы считаем с единицы), а первое (наименьшее) число искомой тройки равно половине разности суммы двух меньших факториалов и наибольшего факториала.
В нашем случае это $\dfrac{3!+4!-5!}{2}=-345$

 
 
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение29.11.2016, 10:40 
Аватара пользователя
wrest в сообщении #1172472 писал(а):
whitefox
Первое число это "минус триста сорок пять", так что суммы 714 и 696 не получаются, а получаются 6, 24 и 720.

Тоже неплохо. У меня было -47, 49 и 71.
Осталось доказать, что 4 числа нельзя. Подсказка первая: это не так трудно.

 
 
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение29.11.2016, 11:17 
Аватара пользователя
У любой тройки решений - одно число отрицательное. Значит, у возможной четверки чисел должно быть минимум два отрицательных, а их сумма уже не подходит.

А зачем нечетность? Разве что отпадет самый простой вариант $2!\,3!\,4!$

 
 
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение29.11.2016, 11:37 
Аватара пользователя
covax в сообщении #1172704 писал(а):
А зачем нечетность?

За печкой.
Среди любых трёх нечётных чисел найдутся два, сумма которых не кратна 4.

 
 
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение29.11.2016, 12:19 
Ktina в сообщении #1172708 писал(а):
Среди любых трёх нечётных чисел найдутся два, сумма которых не кратна 4.

Насколько это критично? Попарные суммы четырех различных чисел (в т.ч. 4-х нечетных) необязательно различны (в отличие от попарных сумм трех различных чисел).
А вот довод о том, что среди тройки одно должно быть отрицательным и два положительными, а четверку так чтобы в ней все тройки были такие, не наберешь, мне кажется правильным.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group