Дикие узлы

[bayah]

Здравствуйте, не знаю, уместно ли спросить тут, но вроде больше негде.
В общем в книге Сосинского "Узлы. Хронология одной математической теории" есть такое:

"Представление узла как ломаной линии мотивируется не только тем,
что оно позволяет добавлять треугольники (это предполагает, что «линия»
состоит из отрезков); фактически речь идет также об условии, необходи-
мом, чтобы избежать «локальных патологий». Дело в том, что существуют
дикие узлы, не являющиеся топологически эквивалентными ломаной ли-
нии (или гладкой кривой). Такие необычные узлы получаются в результате
«бесконечного завязывания». Переплетения кривой при этом становятся
все более и более мелкими и сходятся в итоге к предельной точке, дикой
точке кривой (см. рис. 1.7)."

Один из примеров в книге вот этот:
http://kak.znate.ru/pars_docs/refs/63/62039/62039-21_1.png

Так вот, меня смущает вот это:
"Переплетения кривой при этом становятся
все более и более мелкими и сходятся в итоге к предельной точке, дикой
точке кривой".

Что значит становятся более мелкими? Узел же можно "растянуть" на сколько угодно. Ну пусть даже растянуть его можно на конечную величину, а переплетений бесконечно, но какие проблемы с приведенным примером узла? Все его переплетения могут быть одинакового размера и никакой сходимости к точке, по-моему.

Или я что-то не верно понимаю?

[Brukvalub]

bayah в сообщении #1172686 писал(а):

Что значит становятся более мелкими? Узел же можно "растянуть" на сколько угодно. Ну пусть даже растянуть его можно на конечную величину, а переплетений бесконечно, но какие проблемы с приведенным примером узла? Все его переплетения могут быть одинакового размера и никакой сходимости к точке, по-моему.

Если переплетения будут одинакового размера, то увидеть весь узел целиком удастся лишь бесконечно высокому наблюдателю с бесконечно зорким глазом, поскольку узел будет занимать бесконечно большой кусок плоскости.

[Soul Friend]

если брать ломанную линию с конечной длиной, то та точка сходимости, как мне кажется, должна иметь диаметр как минимум в два раза превышающии толщину линии, хотя про толщину линии не упоминается

[DeBill]

bayah в сообщении #1172686 писал(а):

Все его переплетения могут быть одинакового размера и никакой сходимости к точке, по-моему.

Узел - компакт (как непрерывный образ окружности). Если переплетений бесконечно много, то у них заведомо есть предельная точка. Если сделать их все "большими", то предельных точек станет совсем много - и не будет непрерывности.

[bayah]

Brukvalub в сообщении #1172702 писал(а):

Если переплетения будут одинакового размера, то увидеть весь узел целиком удастся лишь бесконечно высокому наблюдателю с бесконечно зорким глазом, поскольку узел будет занимать бесконечно большой кусок плоскости.

Хорошо.
А почему такие узлы "не являются топологически эквивалентными ломаной линии (или гладкой кривой)"?

DeBill в сообщении #1172709 писал(а):

Если сделать их все "большими", то предельных точек станет совсем много - и не будет непрерывности.

Совсем много это еще больше чем было? Почему? В вышеприведенных примерах предельная точка одна, как их станет больше?
А почему не будет непрерывности?

[Brukvalub]

bayah в сообщении #1172712 писал(а):

А почему такие узлы "не являются топологически эквивалентными ломаной линии (или гладкой кривой)"?

А что такое "топологическая эквивалентность"? Дайте определение.

[bayah]

Brukvalub в сообщении #1172734 писал(а):

А что такое "топологическая эквивалентность"? Дайте определение.

А я сам не знаю. Просто хочу понять на интуитивном неформальном уровне)

[Brukvalub]

bayah в сообщении #1172907 писал(а):

А я сам не знаю. Просто хочу понять на интуитивном неформальном уровне)

Еще в 17-м веке математики на контрпримерах доказали, что лозунг "Материя Математика есть объективная реальность, данная нам в ощущении" является ложным утверждением.

[bayah]

Brukvalub в сообщении #1172926 писал(а):

Еще в 17-м веке математики на контрпримерах доказали, что лозунг "Материя Математика есть объективная реальность, данная нам в ощущении" является ложным утверждением.

Это что за история? Можно ссылочку?)

Ну...какими-то аналогиями же математики пользуются в своих размышлениях.

[Brukvalub]

bayah, это была шутка. Как я понял, вы просто развлекаетесь, не пытаясь получить точных знаний. Так математику познать не удастся. Учите точные определения понятий.

[Someone]

bayah в сообщении #1172712 писал(а):

А почему такие узлы "не являются топологически эквивалентными ломаной линии (или гладкой кривой)"?

А как Вы сделаете бесконечно много "переплетений" на ломаной, которая по определению состоит из конечного числа прямолинейных отрезков?
С гладкой кривой, конечно, разобраться несколько сложнее. Гладкая кривая вблизи каждой своей точки "очень похожа" на отрезок прямой. Если вблизи какой-то точки будет бесконечно много "переплетений", то кривая не будет "похожа" на отрезок прямой. Это, конечно, уж очень нестрогое объяснение, но Вы же не хотите разбираться в строгой теории.

[bayah]

Brukvalub в сообщении #1172939 писал(а):

bayah, это была шутка. Как я понял, вы просто развлекаетесь, не пытаясь получить точных знаний. Так математику познать не удастся. Учите точные определения понятий.

Someone в сообщении #1172958 писал(а):

А как Вы сделаете бесконечно много "переплетений" на ломаной, которая по определению состоит из конечного числа прямолинейных отрезков?
С гладкой кривой, конечно, разобраться несколько сложнее. Гладкая кривая вблизи каждой своей точки "очень похожа" на отрезок прямой. Если вблизи какой-то точки будет бесконечно много "переплетений", то кривая не будет "похожа" на отрезок прямой. Это, конечно, уж очень нестрогое объяснение, но Вы же не хотите разбираться в строгой теории.

Я не то чтобы не хочу, я просто читаю довольно популярное изложение и хотелось бы сначала понимать что говорится в ней, но думаю этим вопросом уже копнул глубже, в книжке иметь такое понимание не предполагается кажется.

Кстати, возник еще вопрос.
Дальше в книге приводится пример дикого узла построенного на основе канторового множества:


И на основе ожерелья Антуана:


Описание автора:
"Ожерелье Антуана обладает рядом замечательных свойств, на которых мы не собираемся останавливаться: оно нам послужит лишь для конструирования дикого узла, предложенного русским математиком Г. Я. Зуевым. Этот узел выглядит так: сначала он проникает во внутренность большого тора, затем выпускает четыре языка, которые входят в четыре следующих тора, затем каждый язык выпускает четыре языка и т. д., стремясь приблизиться к ожерелью Антуана. Можно показать (но строгое доказательство достаточно тонкое), что в пределе действительно получается простая замкнутая кривая и что множество ее диких точек есть в точности ожерелье Антуана."


А вот чего я не пойму, почему это узлы, если они ветвятся?

[Brukvalub]

bayah в сообщении #1172974 писал(а):

А вот чего я не пойму, почему это узлы, если они ветвятся?

bayah в сообщении #1172974 писал(а):

Можно показать (но строгое доказательство достаточно тонкое), что в пределе действительно получается простая замкнутая кривая

[bayah]

Brukvalub в сообщении #1173013 писал(а):

bayah в сообщении #1172974
писал(а):
Можно показать (но строгое доказательство достаточно тонкое), что в пределе действительно получается простая замкнутая кривая

Как это возможно? Если что-то ветвится, то оно ветвится. Или в пределе оно перестает ветвиться?

[Mikhail_K]

bayah в сообщении #1173191 писал(а):

Как это возможно? Если что-то ветвится, то оно ветвится. Или в пределе оно перестает ветвиться?

А Вы на картинке покажите хотя бы одну точку, в которой узел "ветвится".
Он нигде не ветвится. Грубо говоря, его можно "обойти вокруг" единым росчерком, как обычную окружность или любой другой узел.
А Вы рассмотрите вначале более простой узел, чем тот дикий с канторовым множеством. На картинке замкните эти восемь пар ниточек в самом верху (не достраивая следующие этажи) - и убедитесь, что никаких ветвлений нет, это будет обычный узел без всяких ветвлений.