равномерная непрерывность и условие Липшища

[Aiyyaa]

Помогите сделать пример из функционального анализа, по непрерывному отображению. Даны 2 пространства бесконечных последовательностей чисел $X=l_2$, чья метрика $ \rho (x,y)=\sum\limits_{n=1}^{ \infty}|x(n)-y(n)|^{2}$ сходится, и $Y=l_1$, чья метрика $ \rho (x,y)=\sum\limits_{n=1}^{ \infty}|x(n)-y(n)|$ сходится; и отображение $Fx=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...)$, которое ставит в соответствие последовательности из $l_2$ последовательность из $l_1$. В этом отображении $x(1)$ это первый элемент последовательности из $l_2$. Необходимо ответить на вопрос, является ли заданное отображение F:
a)непрерывным;
б)равномерно-непрерывным;
в) удовлетворяющим условию Липшица;

Определение непрерывности:
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \mid \rho (x,x_0)< \delta \Rightarrow \rho (F(x),F(x_0))< \varepsilon$;

(Оффтоп)

Примеры непрерывных функций:
$y=x^2$;
$y=x$;
$y=\sqrt{x}$;
$y=2x+4$ на всей вещественной прямой $\mathbf{R}$;
Непрерывность можно увидеть на графике функции, все элементарные функции являются непрерывными. Функция является непрерывной в точке, если значение предела справа совпадает со значением предела слева и равно значению функции в этой точке.

Определение равномерной непрерывности:
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \mid \rho (x,y)< \delta \Rightarrow \rho (F(x),F(y))< \varepsilon \forall x,y\in X$;

(Оффтоп)

примеры равномерно-непрерывных функций:
$y=x; y=2x+4$, так как эти функции являются линейными, которые, как известно, удовлетворяет условию Липшица на всей $R$.
$y=\sqrt{x}$ на всей вещественной прямой $\mathbf{R}$;
Для доказательства возьмём $ \delta= \varepsilon^2$, тогда $|x-y|<\delta=\varepsilon^2$, и значит $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|^2 \leqslant |\sqrt{x}-\sqrt{y}||\sqrt{x}+\sqrt{y}|=|x-y|<\varepsilon^2$, следовательно, $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| < \varepsilon$, что показывает, что функция является равномерно-непрерывной.
также следует заметить, что если функция непрерывна на отрезке, то эта функция является равномерно-непрерывной на этом отрезке, то есть, например функция $y=\frac{1}{x}$ не является равномерно-непрерывной на (0;$\infty$), но на каком-либо отрезке $(a,b)\in (0;\infty)$ функция является равномерно-непрерывной.
Функции $y=x^2; y=x^3$ не являются равномерно-непрерывными на $R$, это легко проверяется при $y=x^2$ в случае, если взять в качестве $\delta=\frac{\varepsilon}{x}$, тогда по определению равномерной непрерывности:
$f(x+\frac{\varepsilon}{x})-f(x)=x^2+\frac{2x\varepsilon}{x}+\frac{\varepsilon^2}{x^2}-x^2=2\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{x^2}$,
затем нужно устремить $x$ к бесконечности, и найти предел,
$\lim\limits_{x \to \infty}2\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{x^2}=2\varepsilon$, а должно быть меньше $\varepsilon$, то есть условие равномерной сходимости не выполняется, то есть при увеличении значения $x$ значение $f(x)=x^2$ увеличивается ещё быстрее, а значит, эта функция не является равномерно-непрерывной на $R$, а поскольку функция $f(x)=x^3$ растёт ещё быстрее, чем $x^2$, то эта функция также не является равномерно-непрерывной, и в общем случае, функция $f(x)=x^n, n\geqslant 2 $, не является равномерно-непрерывной.

Условие Липшица:
$ \exists L>0 | \forall x,y \in X \rho _y(f(x),f(y))<L \rho_x(x,y)$;

(Оффтоп)

Единственными функциями, которые удовлетворяют условию Липшица на $R$, являются функции вида $y=kx+b$, но есть линейные функции, с константой Липшица $L=k$, все остальные функции могут удовлетворять условию Липшица только на ограниченном отрезке. Это следует из того факта, что чтобы функция удовлетворяла условию Липшица, её первая производная должна быть ограничена. Следовательно, функции вида $y=\sqrt[n]x$, не удовлетворяют условию Липшица, поскольку предел первой производной $y'=\frac{n}{\sqrt[n-1]x}$ в точке $x=0$ стремится к бесконечности, то есть первая производная не ограничена в точке $x=0$.
Если функция удовлетворяет условию Липшица, то она является равномерно-непрерывной.
Примеры функций, удовлетворяющих условию Липщица:
$y=2x+4; y=x;$ на $R$

Подскажите пожалуйста алгоритм решения данного примера.

Lia: Самоликбез, приведенный по моей просьбе и относящийся к делу только косвенно, убран в теги оффтопа

[DeBill]

Aiyyaa
Представьте Ваше от-е в виде суммы двух: в первое включите ровно одно безобразие с корнем, а все остальное - во второе. Второе - линейно, и с ним -все хорошо (неравенство Коши-Буняковского Вам поможет). А первое - фактически обычная функция на прямой. Вот с ней и надо повозиться . Вспомогательный вопрос: Будет ли функция $y=x^{\frac{1}{3}}$ равномерно непрерывной? Липшецевой?

[Aiyyaa]

DeBill в сообщении #1172508 писал(а):

Представьте Ваше от-е в виде суммы двух: в первое включите ровно одно безобразие с корнем, а все остальное

то есть отображение $Fx=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...)$ нужно представить в виде $F_1x=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},0,...)$, которое переводит второй член последовательности из пространства $l_2$ в $\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)}$, а остальные члены последовательности в 0, и $F_2 x=(0,0,\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...)$, которая применяется ко всем элементам последовательности, кроме 1 и 2-го, которые это отображение переводит в 0?

DeBill в сообщении #1172508 писал(а):

Будет ли функция $y=x^{\frac{1}{3}}$ равномерно непрерывной? Липшецевой?

эта функция является непрерывной на своей области определения, то есть на [0, $\infty$), так что она является равномерно-непрерывной, но я не знаю как проверить, удовлетворяет эта функция условию Липшица или нет.

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1172512 писал(а):

эта функция является непрерывной на своей области определения, то есть на [0, $\infty$), так что она является равномерно-непрерывной

А является ли равномерно непрерывной функция $x^2$?

Aiyyaa в сообщении #1172512 писал(а):

как проверить, удовлетворяет эта функция условию Липшица или нет

Для начала - подставить ее в определение. Дальше у вас получится некоторое неравенство (под кванторами), которое можно попробовать преобразовать.

[Brukvalub]

Aiyyaa в сообщении #1172512 писал(а):

эта функция является непрерывной на своей области определения, то есть на [0, $\infty$), так что она является равномерно-непрерывной,

Ребус-парадокс: неверное суждение с верным выводом.

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1172513 писал(а):

Для начала - подставить ее в определение. Дальше у вас получится некоторое неравенство (под кванторами), которое можно попробовать преобразовать.

то есть для функции $x^{\frac{1}{3}}$:
$ \exists L>0 : \forall x_1,x_2 \in [0, \infty) |x_1^{\frac{1}{3}} - x_2^{\frac{1}{3}}|<L |x_1 - x_2|$
так?

mihaild в сообщении #1172513 писал(а):

А является ли равномерно непрерывной функция $x^2$?

да, является, так как эта функция является непрерывной на всем $R$, то она является равномерно-непрерывной.

-- 28.11.2016, 20:28 --

Brukvalub в сообщении #1172514 писал(а):

Aiyyaa в сообщении #1172512 писал(а):

эта функция является непрерывной на своей области определения, то есть на [0, $\infty$), так что она является равномерно-непрерывной,

Ребус-парадокс: неверное суждение с верным выводом.

почему моё суждение неверно?

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1172520 писал(а):

да, является, так как эта функция является непрерывной на всем $R$, то она является равномерно-непрерывной.

Можете полностью сформулировать замечательный результат, на который вы тут ссылаетесь?

А потом указать такое $\delta$, что $\forall x,y: \left|x - y\right| < \delta \rightarrow \left|x^2 - y^2\right| < 1$ (получается подстановской $\varepsilon = 1$ в определение равномерной непрерывности).

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1172522 писал(а):

Можете полностью сформулировать замечательный результат, на который вы тут ссылаетесь?

Теорема Кантора — Гейне: функция, непрерывная на отрезке (компакте), равномерно непрерывна на нём.

mihaild в сообщении #1172522 писал(а):

А потом указать такое $\delta$, что $\forall x,y: \left|x - y\right| < \delta \rightarrow \left|x^2 - y^2\right| < 1$

я не знаю, как подобрать такое $ \delta$

[Brukvalub]

Aiyyaa в сообщении #1172524 писал(а):

Теорема Кантора — Гейне: функция, непрерывная на отрезке (компакте), равномерно непрерывна на нём.

Разве луч - это отрезок или компакт?

[Aiyyaa]

Brukvalub в сообщении #1172526 писал(а):

Разве луч - это отрезок или компакт?

ну тогда я не знаю как проверить , является эта функция равномерно-непрерывной или нет

[mihaild]

Тогда поехали по возрастающей (хотя тогда функциональные пространства уходят за горизонт, ну да что же делать).
Являются ли непрерывными (на $\mathbb{R}$) следующие функции:$1, x, x^2, \{x\}$ (дробная часть $x$)? Почему?

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1172534 писал(а):

Являются ли непрерывными (на $\mathbb{R}$) следующие функции:$1, x, x^2, \{x\}$ (дробная часть $x$)? Почему?

функции $1, x, x_2$ являются непрерывными, так как они в каждой точке $a \in \mathbb{R}$ и её окрестности определены на всей $\mathbb{R}$ , существует конечный предел этих функций в $a$, который равен значению функции в точке $a$, то есть $\lim\limits_{x \mapsto a}f(x)=f(a)$.
а функция $\{x\}$ не является непрерывной, так как значение предела например, при $x \to 3$ $\lim\limits_{x \mapsto 3}f(x)=1$, но значение функции $f(3)=0$, и так при всех $x \in \mathbb{Z}$

[Brukvalub]

Aiyyaa в сообщении #1172547 писал(а):

$\lim\limits_{x \mapsto a}=f(a)$

Что-то с этой формулой не так.

[mihaild]

Так, а почему $\lim\limits_{x\to a} x^2 = a^2$?

Aiyyaa в сообщении #1172547 писал(а):

значение предела например, при $x \to 3$ $\lim\limits_{x \mapsto 3}f(x)=1$,

Неправда.

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1172551 писал(а):

Так, а почему $\lim\limits_{x\to a} x^2 = a^2$?

потому что так задана функция.

mihaild в сообщении #1172551 писал(а):

Неправда.

Почему неправда? Предел функции стремится к 1, но значение функции равно 0 при $x \in \mathbf{Z}$, и то, что функция разрывна, можно увидеть, если построить график этой функции.