Количество способов раскраски 5-угольной призмы

[Orkimed]

Здравствуйте. Ищу количество раскрасок 5-угольной призмы. Осей симметрии у неё две. Первая - вертикальная через центр нижнего и верхнего оснований. Вторая группа - через середины противоположных рёбер и граней.
$ \\ \tau_{1}=(12345)(678910) \\ \tau_{2}=(13524)(681079) $ и так далее.
А вот со второй группой у меня проблемы. Никак не могу понять как перемещаются вершины. Вроде по диагонали грани, но написать правильно мне так и не удалось.

[DeBill]

Orkimed
Рассматриваем только сохраняющие ориентацию?
Под осью симметрии Вы имеете в виду - ось вращения?
Вертикальная ось - симметрия пятого порядка.
Но есть еще пять других - те, что Вы назвали "второй группой" (у них - пять различных осей, каждая -поворот на 180, каждая - порядка 2).
И что за проблемы? $(16)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7)$ -одна из, например...

[arseniiv]

О, группа Диэдра диэдра. А зачем вам, кстати, вершины? Вы же красить будете грани, наверное? Если так, то можно записать всё в гранях.

-- Вс ноя 27, 2016 23:10:25 --

Притом для удобства обозначений можно пятиугольные грани назвать буквами, и только боковые — цифрами.

[Orkimed]

DeBill arseniiv
По заданию нужно рассматривать вершины. Рассматриваю только повороты, которые сохраняют ориентацию. Да, имел ввиду ось вращения. Под фразой пятого порядка, вы подразумевали 5 различных поворотов, если считать тождественный?(С терминологией нас не сильно знакомили).
После вашего примера стало еще хуже. Моё предположение, что циклы длины 2 будут, подтвердилось. Это радует

[arseniiv]

Orkimed в сообщении #1172266 писал(а):

Под фразой пятого порядка, вы подразумевали 5 различных поворотов, если считать тождественный?

Ага. Повороты вокруг оси $n$-го порядка образуют группу, изоморфную $\mathbb Z_n$. Откуда можно сделать вывод про цикловую структуру её элементов.

Orkimed в сообщении #1172266 писал(а):

После вашего примера стало еще хуже.

А можно я тоже усугублю ситуацию? Если $a$ — одно из тех переворачиваний, то все их можно получить как $qaq^{-1}$, где $q$ — разные вращения вокруг вышеупомянутой оси пятого порядка. Это может помочь с записями в виде циклов…