Матан->теория меры->максимальная функция

[Seltsamermann]

Доброго времени суток.
Имеются вопросы по трем задачам. Первая формально уже по сути решена, но нуждается в небольшой теоретической подпитке. От второй у меня уже где-то с неделю кружится голова, очевидно, я упустил какой-то банальный факт. С третьей просто всё сложно, поскольку идея не наклёвывается.
Итак, по сути.

1) Пусть $\nu$ - мера Бореля в $\mathbb{R}^d$, конечная на компактах, $E$ - измеримое относительно $\nu$ мн-во. Доказать, что $\nu E=0$, если $\quad\nu '(x)=0 \quad\forall x \in E$.

Собственно, моя идея была банальна и свежа, как весенний бриз. По определению $\nu '(x)=\lim\limits_{r \to 0}^{} \frac{\nu B_r (x)}{\lambda B_r (x)}$, где $\lambda$ - это мера Лебега. Мера Лебега в знаменателе пропорциональна $r^d$, следовательно, чтобы предел выполнялся, необходимо, чтобы либо мера в числителе была пропорциональна $r^a$, где $a>d$, либо, чтобы эта самая мера была нулевой. Второй вариант, разумеется, подходит и является верным. А вот первый... Интуитивно-то понятно, что борелевская мера не может превосходить лебеговскую, но мне бы как-то это формально обосновать.

2) Придумать такую суммируемую функцию $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, что её максимальная ф-я $Mf(x)=\sup\limits_{r>0} \frac{1}{\lambda B_r (x)}\int\limits_{B_r (x)}^{} \left\lvert f(y)\right\rvert dy$ не суммируема на каждом $(a,b) \ne \varnothing$

У меня, по-моему, листов пять в тетради исписано попытками что-то посчитать/проверить, всё время не в ту степь ухожу. Из самого адекватного: попытка вывести общую закономерность для отсутствия локальной суммируемости $Mf(x)$:
$\int\limits_{a}^{b} Mf(x)dx=\int\limits_{a}^{b} \sup\limits_{r>0} \frac{1}{\lambda B_r (x)}\int\limits_{B_r (x)}^{} \left\lvert f(y)\right\rvert dydx=\int\limits_{a}^{b} \sup\limits_{r>0} \frac{1}{2r}\int\limits_{x-r}^{x+r} \left\lvert f(y)\right\rvert dydx =$\!$ $\quad$ \sup\limits_{r>0} \frac{1}{2r} \int\limits_{a}^{b} \int\limits_{x-r}^{x+r} \left\lvert f(y)\right\rvert dydx=$\!$ $\quad$ \sup\limits_{r>0} \frac{1}{2r} (\int\limits_{a+r}^{b+r} - \int\limits_{a-r}^{b-r}) \left\lvert f(x)\right\rvert dx $
По постановке задачи, вот эта вот штука должна при ЛЮБЫХ $a$ и $b$ быть бесконечной (либо я что-то очень сильно перепутал, поправьте, если неправ. Я даже буду рад, если я неправ). Предел при $r \to 0$ равен $f(b)-f(a)$, что тонко намекает на то, что искать надо не тут. В остальных случаях то, что перед интегралом - лишь константа, не имеющая ровно никакого значения при определении суммируемости, следовательно, бесконечной должна быть разность интегралов, т.е. хотя один из них, что означает, что $f$ локально не суммируема абсолютно, но при этом суммируема (по-"обычному") как локально, так и на всем $\mathbb{R}$. У меня уже слегка воспламеняется мозг, я сейчас не могу такое придумать. Если правила не позволяют давать прямой ответ, дайте хотя бы очень толстый намёк на то, что может подходить для таких условий.

3) $E \subset \mathbb{R}^d$ - ограничено, покрыто семейством шаров $\mathbf{B}$ т., ч. любая точка из $E$ содержится в сколь угодно малом шаре из $\mathbf{B}$. Доказать, что из $\mathbf{B}$ можно выделить последовательность попарно дизъюнктных шаров ${B_k}$ т., ч.
а) Е содержится в объединении \widetilde{B_k} - шаров с такими же центрами, как и $B_k$, но имеющие в 5 раз больший радиус;
б) $\lambda (E \setminus \bigcup\limits_{k}^{} B_k)=0$

No idea at all, подскажите направление мысли, али хотя бы теоремку какую.

Заранее премного благодарен.

[g______d]

Seltsamermann в сообщении #1171947 писал(а):

1) Пусть $\nu$ - мера Бореля в $\mathbb{R}^d$, конечная на компактах, $E$ - измеримое относительно $\nu$ мн-во. Доказать, что $\nu E=0$, если $\quad\nu '(x)=0 \quad\forall x \in E$.

Собственно, моя идея была банальна и свежа, как весенний бриз. По определению $\nu '(x)=\lim\limits_{r \to 0}^{} \frac{\nu B_r (x)}{\lambda B_r (x)}$, где $\lambda$ - это мера Лебега.

Где-то нужно пересечь с $E$, иначе утверждение очевидно неверно ($E$ одноточечное, $\nu=\lambda$).

Seltsamermann в сообщении #1171947 писал(а):

No idea at all, подскажите направление мысли, али хотя бы теоремку какую.

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_covering_lemma

[Seltsamermann]

g______d в сообщении #1171955 писал(а):

Seltsamermann в сообщении #1171947 писал(а):

1) Пусть $\nu$ - мера Бореля в $\mathbb{R}^d$, конечная на компактах, $E$ - измеримое относительно $\nu$ мн-во. Доказать, что $\nu E=0$, если $\quad\nu '(x)=0 \quad\forall x \in E$.

Собственно, моя идея была банальна и свежа, как весенний бриз. По определению $\nu '(x)=\lim\limits_{r \to 0}^{} \frac{\nu B_r (x)}{\lambda B_r (x)}$, где $\lambda$ - это мера Лебега.

Где-то нужно пересечь с $E$, иначе утверждение очевидно неверно ($E$ одноточечное, $\nu=\lambda$).

Прошу прощения, но я не очень понял, где здесь противоречие? И что нужно пересечь с $E$?
Если вы о последней формуле (производной меры), то, разумеется, мы берем иксы исключительно из $E$.

P.S. Если мы берем $\nu=\lambda$, то в пределе получим единицу. Это же противоречит условию, не так ли?

g______d в сообщении #1171955 писал(а):

Seltsamermann в сообщении #1171947 писал(а):

No idea at all, подскажите направление мысли, али хотя бы теоремку какую.

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_covering_lemma

Ооо, а вот тут премного благодарствую. Лемма и правда впору пришлась.

[g______d]

Seltsamermann в сообщении #1171961 писал(а):

И что нужно пересечь с $E$?

$B_r(x)\cap E$.

[Brukvalub]

Seltsamermann, возможно, для решения п.2 вам поможет следующий факт: если на интервале $(0 ; 0.5)$ функцию задать формулой $ f(x)=\frac{1}{x\ln^2x}$, а в остальных точках - равной нулю, то максимальная функция этой функции не будет суммируемой в любой окрестности нуля. Отсюда недалеко до нужного вам примера.

[g______d]

О, вспомнил. Есть такая лемма, что у множества положительной меры есть хотя бы одна точка плотности.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue' ... ty_theorem

-- Сб, 26 ноя 2016 13:34:27 --

Ну или можно взять эту теорему

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_ ... on_theorem

и применить к индикаторной функции.

[Seltsamermann]

Brukvalub в сообщении #1171989 писал(а):

Seltsamermann, возможно, для решения п.2 вам поможет следующий факт: если на интервале $(0 ; 0.5)$ функцию задать формулой $ f(x)=\frac{1}{x\ln^2x}$, а в остальных точках - равной нулю, то максимальная функция этой функции не будет суммируемой в любой окрестности нуля. Отсюда недалеко до нужного вам примера.

Совершенно случайно так вышло, что с этим примером я уже знаком. И как-то я не очень понимаю, как из него получается нужная мне вещь.

g______d в сообщении #1171993 писал(а):

О, вспомнил. Есть такая лемма, что у множества положительной меры есть хотя бы одна точка плотности.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue' ... ty_theorem

Тогда отсюда получается, что, раз исходное множество измеримо (относительно данной борелевской меры), то в пределе без разницы, писать с пересечением или без, ибо предел их отношения единица, я правильно понял?

[Brukvalub]

Seltsamermann в сообщении #1172000 писал(а):

И как-то я не очень понимаю, как из него получается нужная мне вещь.

А еще рац. точки всюду плотны на вещ. прямой, и их счетное множество.

[g______d]

Seltsamermann в сообщении #1172000 писал(а):

то в пределе без разницы, писать с пересечением или без, ибо предел их отношения единица, я правильно понял?

По-моему, пересечение в любом случае нужно. Я уже писал выше пример: $\mu=\nu$, $E$ состоит из одной точки, $x$ -- эта точка. Тогда предел равен единице, а мера равна нулю.

[Seltsamermann]

g______d в сообщении #1172015 писал(а):

Seltsamermann в сообщении #1172000 писал(а):

то в пределе без разницы, писать с пересечением или без, ибо предел их отношения единица, я правильно понял?

По-моему, пересечение в любом случае нужно. Я уже писал выше пример: $\mu=\nu$, $E$ состоит из одной точки, $x$ -- эта точка. Тогда предел равен единице, а мера равна нулю.

Но по условию предел нулевой. Противореча условию, получаем левые данные, всё логично. :)
На заметку всё равно возьму, на всякий случай, спасибо.

Btw, первоначальный вопрос по первому пункту всё еще висит.

[Brukvalub]

Seltsamermann в сообщении #1172016 писал(а):

первоначальный вопрос по первому пункту всё еще висит.

Этот факт верен не только для борелевских мер, но даже для мер Радона. Док-во см. вот в этой книге на стр. 583.

[g______d]

Да, сорри, я, похоже, не на тот вопрос отвечал.

Тогда можно попробовать рассмотреть неопределённый интеграл меры $\nu$ (т. е. интеграл по параллелепипеду с переменной вершиной) и применить к ней теорему Лебега о дифференцировании.

[Seltsamermann]

Brukvalub в сообщении #1172004 писал(а):

Seltsamermann в сообщении #1172000 писал(а):

И как-то я не очень понимаю, как из него получается нужная мне вещь.

А еще рац. точки всюду плотны на вещ. прямой, и их счетное множество.

Я себя как-то неловко чувствую.
Вы, вроде как, констатируете уже знакомые и понятные мне факты, но я в упор не вижу их связи с текущей задачей.
Нет, связь первого примера более-менее понятна - это дает возможность говорить о несуммируемости на всех интервалах вида $(-r,r)$. Вроде бы, очевидным "продолжением" была бы попытка распространить это на интервалы иного вида. Попытался повидоизменять функцию в разумных пределах, в максимальной функции вышли не особо приятные вещи.
К чему было второе - совсем не понял.

P.S. Пока всё это писал, внезапно посетила мысль (четвертый час ночи на дворе, самое время :)
Вот из суммируемости на всем пространстве следует локальная суммируемость. Значит, из локальной несуммируемости следует несуммируемость на более крупных промежутках (в т.ч. на всем пространстве, но это в данном случае не интересует). Значит, если для $(a,b) \exists r>0 : (-r,r) \subseteq (a,b) \Rightarrow $ на $(a,b) Mf(x)$ не суммируема. Все отлично, но остается проблема: каким-то макаром необходимо это распространить и на промежутки, не содержащие окрестность нуля.

P.P.S. Уже почти хотел отправить, как вдруг мой глаз завис над расписыванием максимальной функции от первого примера. В окрестности нуля там нет суммируемости, да. А в 1/2? Тоже ведь нет. Ибо логарифм в знаменателе обнуляется. Значит, в окрестности 1/2 тоже нет суммируемости. Значит, тоже можно "распространить" несуммируемость на промежутки, содержащие эту окрестность. Но сути это все равно не меняет: взять какой-нибудь интервал а-ля $(1/8, 3/8)$, и толку от этих окрестностей 0 и 1/2 будет ровно нуль. Снова мимо. :(

[Seltsamermann]

Учитывая, что эта тема еще не окончена, глупо начинать новую, так что добавлю чуток.
Прислушался к комментариям выше и решил скрестить кота с собакой. К слову, вышло даже что-то удобоваримое. Как мне показалось, по крайней мере.
(Речь о пункте 2)

Рациональные числа составляют счетное множество, т.е. их условно можно обозначить как множество $\{a_i\}$.
Пусть:
$f(x)=\frac{1}{x \cdot \ln^2(\frac{x}{a_i})}$, если $x=a_i \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}$.
$f(x)=\frac{1}{x \cdot \ln^2(x)}$, если $x \in (0, \frac{1}{2}) \setminus\mathbb{Q}$.
$f(x)=0$ в остальных случаях.
(Видит Б-г, я пытался записать через систему в LaTeX, но мне упорно выдавались ошибки. Раза после десятого сдался.)
$f(x)$ суммируема, как и в примере выше, ибо в "первой" части по множеству меры нуль интеграл нулевой, во "второй" части от убавления этого же множества меры нуль интеграл не меняется.
Что же касается $Mf(x)$...
По-моему, это и есть искомое. Ибо в любом интервале $(a,b)$ будет содержаться рациональная точка (по плотности всюду рациональных чисел), а, значит, на любом интервале $Mf(x)$ будет несуммируема.

Похоже на правду? Я себе уже давно не верю, лучше уточнить у людей знающих.

[Someone]

Seltsamermann в сообщении #1173516 писал(а):

$f(x)=\frac{1}{x \cdot \ln^2(\frac{x}{a_i})}$, если $x=a_i \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}$.

Знаменатель равен $0$.