Почему парадокс Бертрана парадокс?

[Brukvalub]

Лукомор в сообщении #1171757 писал(а):

Проблема заключается в том, как определить само понятие "хорда".

Еще дедушка Евклид эту проблему напрочь закрыл! Читайте Евклида!

[Лукомор]

Brukvalub в сообщении #1171770 писал(а):

Еще дедушка Евклид эту проблему напрочь закрыл! Читайте Евклида!

А еще дедушка Аристотель закрыл проблему гравитации, сказав, что скорость падающего тела пропорциональна его массе.
Читайте Аристотеля, а не этого религиозного фанатика Ньютона!
Да! И никаких неевклидовых геометрий!

-- Сб ноя 26, 2016 09:55:07 --

iifat в сообщении #1171768 писал(а):

вот только с вероятностью практически единица случайная прямая упадёт где-нить в сторонке...

Да! С вероятностью единица, чего уж! С вероятностью единица она упадет мимо окружности.
Но из тех редких, я бы даже сказал событий с нулевой вероятностью, при условии, что такое событие произошло, условная вероятность того, что длина хорды будет больше указанной в задаче величины, равна в точности половинке.

[Brukvalub]

Лукомор, откройте Начала Евклида, и вы убедитесь, что у него дано то же самое определение хорды, которое сейчас написано во всех учебниках геометрии. А остальное мы здесь уже давно "перетерли", ничего нового вы своими сообщениями не добавляете.

[Лукомор]

iifat в сообщении #1171768 писал(а):

Беря прямую и кидая на неё окружность, вы уже выбрали конкретный способ, конкретную случайную величину, которая будет распределена равномерно.

Это не я, это, опять же, Джейнс.
Это он предложил физический эксперимент.
Рисуем на ровной поверхности окружность.
И, с некоторого расстояния бросаем прутики (в оригинале straws) на эту окружность.
Казалось бы, прутики должны падать на окружность в соответствии с тем определением хорды, которое выбрал экспериментатор, в данном эксперименте.
Но они падают всегда с одним и тем же распределением.

[Евгений Машеров]

Потому, что "парадокс Бертрана" действительно парадокс. То есть истинное утверждение, выглядящее противоречивым, нарушая общепринятые предрассудки или "интуитивное понимание" (этим парадокс отличается от софизма, утверждения ложного, но производящего впечатление формально правильного). Нарушается здесь предрассудок, что представление о "равномерном распределении", "равновероятности" и т.п. работает всегда и не требует чёткого определения, довольствуясь "тёплым чувством понимания". Но равномерность распределения сохраняется, с точностью до параметров, при линейном преобразовании, нелинейное равномерность не сохраняет, а так как длина хорды нелинейно зависит от координат её вершин, координаты середины и наклона и т.п., то равномерное распределение какого-либо из параметров даст неравномерное для прочих.

[Лукомор]

Brukvalub в сообщении #1171780 писал(а):

Лукомор, откройте Начала Евклида, и вы убедитесь, что у него дано то же самое определение хорды, которое сейчас написано во всех учебниках геометрии. А остальное мы здесь уже давно "перетерли", ничего нового вы своими сообщениями не добавляете.

К сожалению, мой ответ, который мог бы здесь прозвучать, выходит за рамки раздела ПРР(М).
Нежелание быть забаненым за нарушение правил этого раздела превышает желание высказаться по данному вопросу.
Повторюсь, в рамках этого раздела Вы абсолютно правы.

-- Сб ноя 26, 2016 10:13:14 --

Евгений Машеров в сообщении #1171784 писал(а):

Но равномерность распределения сохраняется, с точностью до параметров, при линейном преобразовании, нелинейное равномерность не сохраняет, а так как длина хорды нелинейно зависит от координат её вершин, координаты середины и наклона и т.п., то равномерное распределение какого-либо из параметров даст неравномерное для прочих.

Именно то, что я всегда говорил! В рамках евклидового определения хорды это неустранимо.
Я, вообще, не сильно понимаю, за что тут на меня взъелись господа заслуженные участники, уже не впервой, кстати.
Я ведь ничего сверхъестственного не утверждаю!
То, что аксиоматика геометрии Евклида не работает за пределами ее области применимости, , например, в Теории Вероятностей, где приводит к противоречиям, типа парадокса Бертрана, так ведь никто и не обещал!
То, что возможно построение геометрической аксиоматики, не противоречивой применительно к теории вероятностей, так ведь никто и не сомневался!
Просто в ней нет необходимости, применительно к чисто геометрическим приложениям, а так-то, почему бы нет?

-- Сб ноя 26, 2016 10:19:31 --

iifat в сообщении #1171768 писал(а):

Вот вам встречное предложение: провожу прямую и прибиваю к ней в некоторой точке окружность. Потом подхожу и пинаю её, чтоб она крутилась вокруг этой точки. Как остановится, вот она и хорда. Подозреваю, решением задачи столь же тривиально станет $p=\frac13$, не?

Да. я когда-то рассматривал этот пример.
И вы правильно назвали значение искомой вероятности, именно треть.
А теперь, чтобы убедиться, что распределение не равномерное, просто посчитайте плотность распределения расстояний центра случайной окружности от прямой , и убедитесь, что оно не равномерное, и ваш пример ни о чем...
Прибив окружность в одной точке к плоскости, Вы уже вырезали из вероятностного пространства маленький кусочек с довольно специфическими свойствами, ничего общего не имеющими с исходной задачей.

[Евгений Машеров]

Дело не в неточности "эвклидова определения хорды", а в том, что нелинейные преобразования не сохраняют форму распределения случайной величины и её характеристики, и поэтому "интуитивно очевидные вещи" оказываются неверны.

[Лукомор]

Евгений Машеров в сообщении #1171810 писал(а):

Дело не в неточности "эвклидова определения хорды", а в том, что нелинейные преобразования не сохраняют форму распределения случайной величины и её характеристики, и поэтому "интуитивно очевидные вещи" оказываются неверны.

Да, это верно.
Нелинейные преобразования не сохраняют форму распределения случайной величины и её характеристики.
Но это верно только в рамках "евклидова определения хорды", как отрезка, соединяющего две точки окружности.
Когда мы говорим о хорде, как о части прямой линии, лежащей внутри окружности, функция распределения длины случайной хорды определяется однозначно,соответственно и искомая вероятность однозначна, и в рамках такого определения хорды парадокса не существует. Это, по сути, две разных аксиоматики, и одна ведет к противоречию вне границ своей применимости...

[iifat]

Лукомор в сообщении #1171824 писал(а):

Когда мы говорим о хорде, как о части прямой линии, лежащей внутри окружности, функция распределения длины случайной хорды определяется однозначно,соответственно и искомая вероятность однозначна

«...или я не Винни-Пух. А я — он, значит, всё в порядке!»
Ну просто чтобы ваша глубокая мысль подтверждалась хоть одним аргументом. Совсем без таковых как-то неприлично.

[Brukvalub]

Лукомор в сообщении #1171786 писал(а):

То, что аксиоматика геометрии Евклида не работает за пределами ее области применимости, , например, в Теории Вероятностей, где приводит к противоречиям, типа парадокса Бертрана, так ведь никто и не обещал!
То, что возможно построение геометрической аксиоматики, не противоречивой применительно к теории вероятностей, так ведь никто и не сомневался!

Во дает! Прямо по Булгакову чешет!:
"... -- А вот что ты все-таки говорил про храм толпе на базаре?
Голос отвечавшего, казалось, колол Пилату в висок, был невыразимо
мучителен, и этот голос говорил:
-- Я, игемон, говорил о том, что рухнет храм старой веры и создастся
новый храм истины. Сказал так, чтобы было понятнее."

Не нужно рушить "храм старой веры", поскольку никакой "геометрической аксиоматики, не противоречивой применительно к теории вероятностей" построить не удастся. Это все завиральные идеи. Лучше хорошенько разобраться в сути "парадокса Бертрана" и революционные идеи сами собой улетучатся.

[Евгений Машеров]

То есть другое определение хорды приведёт к тому, что нелинейные преобразования станут сохранять статистическое распределение, его форму и характеристики? Очень интересно, как новое определение хорды справится с "парадоксом среднего человека"? (Когда есть средний рост, и есть средний вес, но средний вес не совпадает с вычисленным по среднему росту).

[Лукомор]

iifat в сообщении #1171827 писал(а):

Ну просто чтобы ваша глубокая мысль подтверждалась хоть одним аргументом. Совсем без таковых как-то неприлично.

Для того, чтобы соблюсти приличия, необходимо, как минимум, съехать из этого раздела в Дискуссионные Темы, например.
Иначе я буду чувствовать угрызения совести за захват чужой темы, прежде всего, и за то что произношу здесь заклинания, не одобренные всемогущим МинобрАзом...
Аргументы я приводил, вскользь и намеками, цитировал один абзац Пуанкаре, в надежде, что какой-нибудь любознательный студент откроет его книжечку "Теория Вероятностей" (написана в 1912, на русский переведена в 1999 году) и прочитает всю седьмую главу. Намекал на статью О.Ю.Шмидта под названием "Парадокс Бертрана", в каком то древнем номере "Математических заметок". Основной аргумент один, но какой!
Я зафиксирую на плоскости окружность радиуса $R$, впишу в нее правильный треугольник, и задамся вопросом, с какой вероятностью случайная прямая, пересекающая окружность, образует хорду с длиной, большей, чем сторона треугольника.
Чтобы ответить на этот вопрос, я, в свою очередь, впишу в треугольник другую окружность, радиуса $r$.
Поскольку имеем один треугольник, и две его окружности, вписанную и описанную, то отношение радиусов этих окружностей, или коэффициент подобия, будет равно $k=\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$.
Теперь, если случайная прямая пересечет внешнюю окружность и не пересечет внутреннюю, то ее длина будет меньше длины стороны нашего треугольника.
Если случайная прямая пересечет обе окружности, то ее длина будет больше длины стороны нашего треугольника.
Теперь применим теорему: "Если выпуклая фигура $C_2$ длины $L_2$ содержится в выпуклой фигуре $C_1$ длины $L_1$, то вероятность того, что случайная хорда фигуры $C_1$ пересекает и $C_2$ равна $L_2L_1^{-1}$"(Кендалл, Моран "Геометрические вероятности", стр.69).
[Я опять ошибся, несколькими сообщениями ранее, приписав эту теорему Коши.
Фамилия Коши на указанной стр.69 действительно присутствует, но по другому поводу... ]
Итак, длина внешней окружности $L_1=2\pi R$? в ней содержится окружность длиной
$L_2=2\pi r$, и вероятность того, что случайная хорда фигуры $C_1$ пересекает $C_2$ равна $p=\frac{2\pi r}{2\pi R}=\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$
Именно об это написал Пуанкаре в конце седьмой главы своей "Теории Вероятностей".

[atlakatl]

Brukvalub в сообщении #1171855 писал(а):

Лучше хорошенько разобраться в сути "парадокса Бертрана"

Парадокс имеет методологическое значение. Просто, исследователь может не знать, то первый пришедший в голову механизм получения вероятностного распределения может исказить результат. В этом он пересекается с проблемами статистических опросов.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1171870 писал(а):

Это уже аксиомы "новой геометрии", или в старой геометрии просто подвинули значение тангенса $30$ градусов?

Ну, это из школьной геометрии, только там синус $30$ градусов в произведении...
Или косинус $60$ градусов в сумме...
-- Сб ноя 26, 2016 16:42:36 --

Brukvalub в сообщении #1171855 писал(а):

Не нужно рушить "храм старой веры", поскольку никакой "геометрической аксиоматики, не противоречивой применительно к теории вероятностей" построить не удастся.

Невероятно!
За два с небольшим часа я вырос от Винни-Пуха до героя Булгакова!
Не бойтесь, никто Ваш храм рушить не собирался.
Про другую аксиоматику я приплел "сказал так, чтобы было понятнее".

-- Сб ноя 26, 2016 17:20:57 --

Евгений Машеров в сообщении #1171860 писал(а):

То есть другое определение хорды приведёт к тому, что нелинейные преобразования станут сохранять статистическое распределение, его форму и характеристики? Очень интересно, как новое определение хорды справится с "парадоксом среднего человека"? (Когда есть средний рост, и есть средний вес, но средний вес не совпадает с вычисленным по среднему росту).

(Оффтоп)

Я конечно помню из ботаники, что человек относится к типу хордовых животных...
Леонардо Да Винчи, вписав человека в круг, а затем в квадрат, как мне иногда кажется, зашифровал в своем рисунке решение задачи о квадратуре круга...
Но, если средний рост не совпадает со средним весом... не знаю... я бы попробовал домножить на средний IQ, что ли?!

Просто при другом определении хорды нет никаких нелинейных преобразований, ибо случайная хорда определяется однозначно. То есть я вижу два круга проблем, связанных с задачей Бертрана.
Первый, о чем здесь говорили все-все-все, связан с нелинейными преобразованиями.
И это правильный ответ на вопрос топикстартера. Парадокс Бертрана потому парадокс, что нелинейные преобразования не сохраняют статистическое распределение.
Второй, о котором говорил лукоморский Винни-Пух, это другой вопрос, более глубокий.
Есть другая задача, похожая на задачу Бертрана, как две капли воды.
О длине хорды, образованной случайной прямой, пересекающей окружность.
Внезапно, эта задача имеет единственное решение.
И не имеет парадокса.
И имеет вероятностное пространство такое, что если я буду решать эту другую задачу, добавляя в ее условие ограничения из трех различных вариантов оригинальной задачи Бертрана,
то я буду получать решения в виде:

$p_1=\frac{0}{0}=\frac{1}{2}$

$p_2=\frac{0}{0}=\frac{1}{3}$

$p_3=\frac{0}{0}=\frac{1}{4}$
"Но это уже совсем другая сказка..."

[Евгений Машеров]

Ну, то есть Вы придумали свою задачу, имеющую к парадоксу Бертрана крайне слабое отношение, и решили её. Поздравляю Вас, но как из этого следует необходимость сексуальных реформ в геометрии?