Расстояние от точки до эллипса

[Lister]

Здравствуйте. Требуется решить следующую задачу:
Найти наикратчайшее расстояние от точки $A (1;0)$ до эллипса $ 4x^2 + 9y^2 = 36$.
Кажется глупым, но почему-то я никак не могу понять, какой функционал нужно минимизировать. Я так понимаю, что это задача с подвижными концами - методы нахождения экстемалей для данных функционалов мне известны, однако понять, какой именно здесь функционал - не могу. Буду признателен, если кто-нибудь с этим поможет - главное для меня здесь понять, что, собственно, нужно решать.
Спасибо.

[Brukvalub]

Параметризуйте эллипс обобщенными полярными координатами и минимизируйте функцию квадрата расстояния то точки эллипса до данной точки.

[arqady]

По-моему, проще найти условие касания окружности

$$(x-1)^2+y^2=R^2$$

и данного эллипса.
А именно: дискриминант квадратного уравнения

$$4x^2+9\left(R^2-(x-1)^2\right)=36$$

равняется нулю.

[Brukvalub]

arqady писал(а):

Помоему, проще найти условие касания окружности

$$(x-1)^2+y^2=R^2$$

и данного эллипса.
А именно, дискриминант квадратного уравнения

$$4x^2+9\left(R^2-(x-1)^2\right)=36$$

равняется нулю.

И не забыть, что бывает как внешнее, так и внутреннее касание

[arqady]

А внешних не будет!

[Brukvalub]

arqady писал(а):

А внешних не будет

Зато будет два внутренних, и нужно исхитриться, чтобы выбрать правильный случай

[arqady]

Brukvalub писал(а):

arqady писал(а):

А внешних не будет

Зато будет два внутренних, и нужно исхитриться, чтобы выбрать правильный случай

Ничего этого не нужно! Во всех случаях, что Вы описываете нет квадратного уравнения и, значит, дискриминант неопределён.

[Brukvalub]

arqady писал(а):

Ничего этого не нужно! Во всех случаях, что Вы описываете нет квадратного уравнения и, значит, дискриминант неопределён.

Так и не понял, куда вдруг делось то квадратное уравнение, которое Вы же выше и написали.....

[arqady]

Brukvalub писал(а):

Так и не понял, куда вдруг делось то квадратное уравнение, которое Вы же выше и написали.....

Последний раз повторяю. Это квадратное уравнение имеет отношение только к тому случаю, который просят рассмотреть.

[незваный гость]

Lister писал(а):

Кажется глупым, но почему-то я никак не могу понять, какой функционал нужно минимизировать

Вам его сначала надо выписать.

1) Расстояние от точки до геометрической фигуры (по определению) — это минимум расстояния между точкой и точками фигуры.

2) Соответственно, функционал — это расстояние между $A$ и точкой эллипса.

3) (совет) очевидно, что минимум расстояния достигается одновременно с минимумом квадрата расстояния. Соответственно, удобнее в качестве функционала брать квадрат расстояния.

4) (ещё совет) удобной параметризацией точек эллипса является $ x = a \cos t$, $ y = b \sin t$. Но это уже дело вкуса.