Что покажет динамометр

[warlock66613]

rustot в сообщении #1171402 писал(а):

$v=0$ не означает неизменности расстояния между телами в череде сопутствующих однуму из них исо

Да, это я не сообразил. Тогда это и правда не то, что предполагается в условии. И я не знаю, как определить $v$, не обращаясь к криволинейным координатам и матаппарату ОТО.

-- 24.11.2016, 12:55 --

Но можно перейти к неинерциальной СО и криволинейным координатам, получить уравнение движения динамометра, после чего используя это готовое уравнение вернуться к рассмотрению сил и ускорений в сопутствующих ИСО.

[rustot]

По моему проще решать обратную задачу, задаться одинаковым собственным ускорением но разной начальной скоростью двух тел относительно какой то исо

$\vec{v_1}(t) = \frac{c}{\sqrt{k^2/t^2+1}}$
$\vec{v_2}(t) = \frac{c}{\sqrt{k^2/(t+t_0)^2+1}}$

а потом посмотреть какой будет скорость и координата второго в исо сопутствующей первому, в разные моменты собственного времени первого

[Erleker]

Да нормально все с $v$.Можно определить просто, как скорость $dx/dt$ в МСИСО, которая сопутствует в данный момент в той точке, где находится рассматриваемое тело( то есть скорость относительно материи лифта в данной точке).И при этом, если $v=0$ ничего никуда не улетает, а наоборот система расширяется Интеграл в НСО при $x^0=const$

$$l=\int\limits_{1}^{2}\sqrt{(-g_{ab}+g_{0a}g_{0b}/g_{00})dx^adx^b}$$

(отвечающей собственной длине), будет, как известно увеличиваться, и, если событие сопутствия МСИСО находится в промежутками между $(x^0,x^1,x^2,x^3)_1$ $(x^0,x^1,x^2,x^3)_2$, то расстояние в ней между концами будет $x_{(2)}-x_{(1)}=l$ (которые измерены неодновременно и имеют, естественно, разные скорости), но эффект относительности одновремености все равно не может сделать длину по $x$ при $t=const$ (что можно посчитать с учетом кинематики движения ускорнного стержня в МСИСО) уменьшающийся.
Так что в 1-м пункте, естественно просто в МСИСО( скорость и ускорения соноправлены):
$F_1=d\dfrac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}/dt= \frac{ma}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$
Второй пункт сложнее.Все зависит от того, на какую точность расчета вы претендуете.И даже если бы приблизительно, то утверждения насчет формулы силы тяжести я бы делать не стал.
Лучше все-таки написать приближение вроде :
$ds^2=(1+\dfrac{2\varphi}{c^2})c^2dt^2-dr^2$
Для свободно падающего тела , как известно ($v=dx/(\sqrt{g_{00}}dt)$:
$E=mc^2\sqrt{g_{00}}/\sqrt{1-v^2/c^2}$
$v=(E/mc^2)^{-1}\sqrt{-\varphi}c$
Тогда силу тяжести можно найти как:
$F=d\dfrac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}/dt=\frac{(E/mc^2)^{-1}GM/r^2}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$.
Если считать, что сам лифт покоится и только начал ускоряться, то можно написать для силы динамометра:
$F_2=\frac{(E/mc^2)^{-1}GM/r^2+ma}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$
В общем же случае должно быть (т.к. мы можем складывать силы только в 4-x мерном виде (тут будет у силы тяжести другой знаменатель(корень))):
$F2=\sqrt{1-v^2/c^2}(\frac{(E/mc^2)^{-1}GM/r^2}{(1-u^2/c^2)^{2}}+\frac{ma}{(1-v^2/c^2)^2})$
($u$-суммарная (релятивистки) скорость лифта и $v$)

*Я так еще понял, что в условии вы за $a$ во 2 пункте обозначали не ускорение, а просто коэффициент перед массой в силе, у меня это сосбтвенное ускорение лифта.

[warlock66613]

Erleker в сообщении #1171445 писал(а):

Можно определить просто, как скорость $dx/dt$ в МСИСО, которая сопутствует в данный момент в той точке, где находится рассматриваемое тело

Но будет ли она совпадать со скоростью $dx/dt$ в НСО?

[Erleker]

warlock66613 в сообщении #1171449 писал(а):

Erleker в сообщении #1171445 писал(а):

Можно определить просто, как скорость $dx/dt$ в МСИСО, которая сопутствует в данный момент в той точке, где находится рассматриваемое тело

Но будет ли она совпадать со скоростью $dx/dt$ в НСО?

Что такое скорость в НСО?Отношение произвольно выбранных координат $dx^a/dx^0$ ?По значению ,естественно, нет:
$v=(\sqrt{(-g_{ab}+g_{0a}g_{0b}/g_{00})dx^adx^b})/(\sqrt{g_{00}}dx^0+g_{0a}dx^a/\sqrt{g_{00}})$
Но если $dx^a/dx^0=0$ , то и $v=0$ (по определению, раз это МСИСО в этой точке).

-- 24.11.2016, 19:13 --

Можно все эти вопросы конкретно посчитать для метрики:
$ds^2=c^2dt^2/(1+a^2t^2/c^2)-2(at/c)dxcdt/\sqrt{1+a^2t^2/c^2}-dy^2-dz^2-dx^2$

[warlock66613]

Erleker в сообщении #1171451 писал(а):

Что такое скорость в НСО?Произвольное отношение координат $dx^a/dx^0$ ?

Да. По значению не обязательно, но условие $v=\operatorname{const}$ ведь не будет эквивалентно условию $dx^a/dx^0 = \operatorname{const}$ (пусть и с разными константами)?

[Erleker]

warlock66613 в сообщении #1171452 писал(а):

Erleker в сообщении #1171451 писал(а):

Что такое скорость в НСО?Произвольное отношение координат $dx^a/dx^0$ ?

Да. По значению не обязательно, но условие $v=\operatorname{const}$ ведь не будет эквивалентно условию $dx^a/dx^0 = \operatorname{const}$ (пусть и с разными константами)?

Естественно не будет.МСИСО можно применять только для первого порядка малости.А так у нее ускорения , в отличии от НСО, нет.Как вы выбираете МСИСО для НСО в классической механнике?Для нее в момент ее сопутствия должно выполняться условие , что $x,y,z =const$ эквивалентно $x^a=const$

[warlock66613]

Erleker в сообщении #1171453 писал(а):

Естественно не будет.

Вот это и значит, что "со скоростью не всё в порядке".

[Erleker]

warlock66613 в сообщении #1171455 писал(а):

Erleker в сообщении #1171453 писал(а):

Естественно не будет.

Вот это и значит, что "со скоростью не всё в порядке".

В классической механике тоже не будет, ну и что?МСИСО "справедлива" только для скоростей, а не для ускорений.

[warlock66613]

Erleker в сообщении #1171456 писал(а):

В классической механике тоже не будет, ну и что?МСИСО "справедлива" только для скоростей, а не для ускорений.

Я убеждён, что идея ТС в том, чтобы рассмотреть именно объект, движущийся равномерно в неинерциальной (релятивстски равноускоренной) системе отсчёта.

[Z.S.]

warlock66613 в сообщении #1171306 писал(а):

остаётся неясным только подвижный динамометр ($B$).

1. Вот нашел формулу у Сажина М. "Теория относительности", для координатного ускорения в лабораторной СО

$\frac{d^2x^i}{dt^2}=-c^2\Gamma _{00}^{1}-2c\Gamma _{0k}^{i}\frac{dx^i}{dt}-\Gamma _{mn}^{i}\frac{dx^m}{dt}\frac{dx^n}{dt}+[c\Gamma _{00}^{0}+2\Gamma _{0k}^{0}\frac{dx^i}{dt}+\frac{1}{c}\Gamma _{mn}^{0}\frac{dx^m}{dt}\frac{dx^n}{dt}]\frac{dx^i}{dt}\; \; \; (8.9)$

Здесь, предварительно, надо брать для моей задачи, когда кабина покоится на планете, $ m=n=i=k=1$ , верно?

2. Erleker, я брал, что $a$ - собственное ускорение лифта.

Правильно я понимаю, что для того чтобы найти трехмерную силу в координатах лабораторной СО надо поделить изменение координатного импульса в лабораторной СО на изменение времени в лабораторной СО, т.е.

$\bar{F}_{lab}=d\bar{p}_{lab}/dt$

Есть еще вопросы , их потом напишу.

warlock66613 в сообщении #1171465 писал(а):

Я убеждён, что идея ТС в том, чтобы рассмотреть объект, движущийся равномерно в неинерциальной (релятивстски равноускоренной) системе отсчёта.

Реально, каждый раз мы сравниваем показания подвижного динамометра с показаниями одного из неподвижных динамометров, распределенных по высоте кабины лифта, мимо которых он проезжает. И находим отношение показаний подвижного к неподвижному в данной точке. Т.е. нет требования совпадения показаний неподвижных акселерометров распределенных по высоте.

[warlock66613]

Z.S. в сообщении #1171472 писал(а):

Т.е. нет требования совпадения показаний неподвижных акселерометров распределенных по высоте.

Да, это хорошее уточнение, но сказанное мной выше не меняет. С учётом этого и сказанного rustot получается, что показание всё-таки будет $ma$ без всяких множителей, зависящих от скорости.

[Erleker]

Какую вы с rustot скорость имеет ввиду то?
Есть обычная скорость в данной точке относительно материи, скорость в МСИСО материи( относительно воздуха в лифте, что тоже самое что и относительно стен в данной точке по вертикали).Она и имеет смысл, и с ней никаких проблем нет.МСИСО постоянно меняются , но скорость остается такой же.Предлагаю рассматривать задачу, имея ввиду именно ее и тогда для любого момента времени скорость в ИСО $v'=(v+u(t))/(1+vu(t)/c^2)$

[warlock66613]

Erleker, с учётом замечания, сделанного rustot, и ваших ответов, под скоростью $v$ следует понимать скорость, измеренную в неинерциальной релятивистски равноускоренной системе отсчёта. Просто способ это сделать уже прозвучал:

rustot в сообщении #1171409 писал(а):

По моему проще решать обратную задачу, задаться одинаковым собственным ускорением но разной начальной скоростью двух тел относительно какой то исо

$\vec{v_1}(t) = \frac{c}{\sqrt{k^2/t^2+1}}$
$\vec{v_2}(t) = \frac{c}{\sqrt{k^2/(t+t_0)^2+1}}$

а потом посмотреть какой будет скорость и координата второго в исо сопутствующей первому, в разные моменты собственного времени первого

[Erleker]

Z.S. в сообщении #1171472 писал(а):

1. Вот нашел формулу у Сажина М. "Теория относительности", для координатного ускорения в лабораторной СО

$\frac{d^2x^i}{dt^2}=-c^2\Gamma _{00}^{1}-2c\Gamma _{0k}^{i}\frac{dx^i}{dt}-\Gamma _{mn}^{i}\frac{dx^m}{dt}\frac{dx^n}{dt}+[c\Gamma _{00}^{0}+2\Gamma _{0k}^{0}\frac{dx^i}{dt}+\frac{1}{c}\Gamma _{mn}^{0}\frac{dx^m}{dt}\frac{dx^n}{dt}]\frac{dx^i}{dt}\; \; \; (8.9)$

Здесь, предварительно, надо брать для моей задачи, когда кабина покоится на планете, $ m=n=i=k=1$ , верно?

Честно, я ни разу не видел эту формулу, но так понимаю, что это просто выражение $d^2x^i/(dx^0)^2$ из уравнения геодезических $d^2x^i/ds^2=-\Gamma _{lk}^{i}u^ku^l$.(И у вас вообще с индексами что-то, вы наверное не так списали.)Зачем она вам?Вы собираетесь считать частные производные?Ускорение свободного падения можно сразу найти ,например, через энергию.

Z.S. в сообщении #1171472 писал(а):

2. Erleker, я брал, что $a$ - собственное ускорение лифта.

Почему у вас во втором случае написано: $F1B=ma$? Где вы учли влияние гравитации?

Z.S. в сообщении #1171472 писал(а):

Правильно я понимаю, что для того чтобы найти трехмерную силу в координатах лабораторной СО надо поделить изменение координатного импульса в лабораторной СО на изменение времени в лабораторной СО, т.е.

$\bar{F}_{lab}=d\bar{p}_{lab}/dt$

Ну да, для результирующей обычной трехмерной силы так.

-- 24.11.2016, 23:02 --

warlock66613 в сообщении #1171487 писал(а):

Erleker, с учётом замечания, сделанного rustot, и ваших ответов, под скоростью $v$ следует понимать скорость, измеренную в неинерциальной релятивистски равноускоренной системе отсчёта.

Есть гиперболическая НСО:
$ds^2=c^2dt^2/(1+a^2t^2/c^2)-2(at/c)dxcdt/\sqrt{1+a^2t^2/c^2}-dy^2-dz^2-dx^2$
Как ваша скорость $v$ будет выражаться через $t,x$?

-- 24.11.2016, 23:36 --

Вообщем, если под $v$ подразумевать просто скорость относительно лифта в данной точке, то окончательно (подставив все в мою формулу):
$F2=\frac{GMm/r^2}{(1-2GM/c^2r)}\sqrt{\frac{1-v^2/c^2}{1-((v+u(t)/(1+vu(t)/c^2)^2/c^2}}+\frac{ma}{(1-v^2/c^2)^3/2}$
Надо еще проинтегрировать ,чтобы найти $u(t)$ для релятивистски равноускоренного( то есть локально) решения $ds^2=(1+2\varphi/c^2)c^2dt^2-dr^2$, но это уже, я думаю, интереса не представляет.