2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 11:50 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
rustot в сообщении #1171402 писал(а):
$v=0$ не означает неизменности расстояния между телами в череде сопутствующих однуму из них исо
Да, это я не сообразил. Тогда это и правда не то, что предполагается в условии. И я не знаю, как определить $v$, не обращаясь к криволинейным координатам и матаппарату ОТО.

-- 24.11.2016, 12:55 --

Но можно перейти к неинерциальной СО и криволинейным координатам, получить уравнение движения динамометра, после чего используя это готовое уравнение вернуться к рассмотрению сил и ускорений в сопутствующих ИСО.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 12:18 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
По моему проще решать обратную задачу, задаться одинаковым собственным ускорением но разной начальной скоростью двух тел относительно какой то исо

$\vec{v_1}(t) = \frac{c}{\sqrt{k^2/t^2+1}}$
$\vec{v_2}(t) = \frac{c}{\sqrt{k^2/(t+t_0)^2+1}}$

а потом посмотреть какой будет скорость и координата второго в исо сопутствующей первому, в разные моменты собственного времени первого

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 17:11 
Заморожен


16/09/15
946
Да нормально все с $v$.Можно определить просто, как скорость $dx/dt$ в МСИСО, которая сопутствует в данный момент в той точке, где находится рассматриваемое тело( то есть скорость относительно материи лифта в данной точке).И при этом, если $v=0$ ничего никуда не улетает, а наоборот система расширяется Интеграл в НСО при $x^0=const$ $$l=\int\limits_{1}^{2}\sqrt{(-g_{ab}+g_{0a}g_{0b}/g_{00})dx^adx^b}$$
(отвечающей собственной длине), будет, как известно увеличиваться, и, если событие сопутствия МСИСО находится в промежутками между $(x^0,x^1,x^2,x^3)_1$ $(x^0,x^1,x^2,x^3)_2$, то расстояние в ней между концами будет $x_{(2)}-x_{(1)}=l$ (которые измерены неодновременно и имеют, естественно, разные скорости), но эффект относительности одновремености все равно не может сделать длину по $x$ при $t=const$ (что можно посчитать с учетом кинематики движения ускорнного стержня в МСИСО) уменьшающийся.
Так что в 1-м пункте, естественно просто в МСИСО( скорость и ускорения соноправлены):
$F_1=d\dfrac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}/dt= \frac{ma}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$
Второй пункт сложнее.Все зависит от того, на какую точность расчета вы претендуете.И даже если бы приблизительно, то утверждения насчет формулы силы тяжести я бы делать не стал.
Лучше все-таки написать приближение вроде :
$ds^2=(1+\dfrac{2\varphi}{c^2})c^2dt^2-dr^2$
Для свободно падающего тела , как известно ($v=dx/(\sqrt{g_{00}}dt)$:
$E=mc^2\sqrt{g_{00}}/\sqrt{1-v^2/c^2}$
$v=(E/mc^2)^{-1}\sqrt{-\varphi}c$
Тогда силу тяжести можно найти как:
$F=d\dfrac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}/dt=\frac{(E/mc^2)^{-1}GM/r^2}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$.
Если считать, что сам лифт покоится и только начал ускоряться, то можно написать для силы динамометра:
$F_2=\frac{(E/mc^2)^{-1}GM/r^2+ma}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$
В общем же случае должно быть (т.к. мы можем складывать силы только в 4-x мерном виде (тут будет у силы тяжести другой знаменатель(корень))):
$F2=\sqrt{1-v^2/c^2}(\frac{(E/mc^2)^{-1}GM/r^2}{(1-u^2/c^2)^{2}}+\frac{ma}{(1-v^2/c^2)^2})$
($u$-суммарная (релятивистки) скорость лифта и $v$)

*Я так еще понял, что в условии вы за $a$ во 2 пункте обозначали не ускорение, а просто коэффициент перед массой в силе, у меня это сосбтвенное ускорение лифта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 17:59 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Erleker в сообщении #1171445 писал(а):
Можно определить просто, как скорость $dx/dt$ в МСИСО, которая сопутствует в данный момент в той точке, где находится рассматриваемое тело
Но будет ли она совпадать со скоростью $dx/dt$ в НСО?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 18:08 
Заморожен


16/09/15
946
warlock66613 в сообщении #1171449 писал(а):
Erleker в сообщении #1171445 писал(а):
Можно определить просто, как скорость $dx/dt$ в МСИСО, которая сопутствует в данный момент в той точке, где находится рассматриваемое тело
Но будет ли она совпадать со скоростью $dx/dt$ в НСО?

Что такое скорость в НСО?Отношение произвольно выбранных координат $dx^a/dx^0$ ?По значению ,естественно, нет:
$v=(\sqrt{(-g_{ab}+g_{0a}g_{0b}/g_{00})dx^adx^b})/(\sqrt{g_{00}}dx^0+g_{0a}dx^a/\sqrt{g_{00}})$
Но если $dx^a/dx^0=0$ , то и $v=0$ (по определению, раз это МСИСО в этой точке).

-- 24.11.2016, 19:13 --

Можно все эти вопросы конкретно посчитать для метрики:
$ds^2=c^2dt^2/(1+a^2t^2/c^2)-2(at/c)dxcdt/\sqrt{1+a^2t^2/c^2}-dy^2-dz^2-dx^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 18:14 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Erleker в сообщении #1171451 писал(а):
Что такое скорость в НСО?Произвольное отношение координат $dx^a/dx^0$ ?
Да. По значению не обязательно, но условие $v=\operatorname{const}$ ведь не будет эквивалентно условию $dx^a/dx^0 = \operatorname{const}$ (пусть и с разными константами)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 18:17 
Заморожен


16/09/15
946
warlock66613 в сообщении #1171452 писал(а):
Erleker в сообщении #1171451 писал(а):
Что такое скорость в НСО?Произвольное отношение координат $dx^a/dx^0$ ?
Да. По значению не обязательно, но условие $v=\operatorname{const}$ ведь не будет эквивалентно условию $dx^a/dx^0 = \operatorname{const}$ (пусть и с разными константами)?

Естественно не будет.МСИСО можно применять только для первого порядка малости.А так у нее ускорения , в отличии от НСО, нет.Как вы выбираете МСИСО для НСО в классической механнике?Для нее в момент ее сопутствия должно выполняться условие , что $x,y,z =const$ эквивалентно $x^a=const$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 18:30 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Erleker в сообщении #1171453 писал(а):
Естественно не будет.
Вот это и значит, что "со скоростью не всё в порядке".

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 18:31 
Заморожен


16/09/15
946
warlock66613 в сообщении #1171455 писал(а):
Erleker в сообщении #1171453 писал(а):
Естественно не будет.
Вот это и значит, что "со скоростью не всё в порядке".

В классической механике тоже не будет, ну и что?МСИСО "справедлива" только для скоростей, а не для ускорений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 19:21 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Erleker в сообщении #1171456 писал(а):
В классической механике тоже не будет, ну и что?МСИСО "справедлива" только для скоростей, а не для ускорений.
Я убеждён, что идея ТС в том, чтобы рассмотреть именно объект, движущийся равномерно в неинерциальной (релятивстски равноускоренной) системе отсчёта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 19:59 


02/11/08
158
warlock66613 в сообщении #1171306 писал(а):
остаётся неясным только подвижный динамометр ($B$).

1. Вот нашел формулу у Сажина М. "Теория относительности", для координатного ускорения в лабораторной СО

$\frac{d^2x^i}{dt^2}=-c^2\Gamma _{00}^{1}-2c\Gamma _{0k}^{i}\frac{dx^i}{dt}-\Gamma _{mn}^{i}\frac{dx^m}{dt}\frac{dx^n}{dt}+[c\Gamma _{00}^{0}+2\Gamma _{0k}^{0}\frac{dx^i}{dt}+\frac{1}{c}\Gamma _{mn}^{0}\frac{dx^m}{dt}\frac{dx^n}{dt}]\frac{dx^i}{dt}\; \; \; (8.9)$

Здесь, предварительно, надо брать для моей задачи, когда кабина покоится на планете, $ m=n=i=k=1$ , верно?

2. Erleker, я брал, что $a$ - собственное ускорение лифта.

Правильно я понимаю, что для того чтобы найти трехмерную силу в координатах лабораторной СО надо поделить изменение координатного импульса в лабораторной СО на изменение времени в лабораторной СО, т.е.

$\bar{F}_{lab}=d\bar{p}_{lab}/dt$

Есть еще вопросы , их потом напишу.

warlock66613 в сообщении #1171465 писал(а):
Я убеждён, что идея ТС в том, чтобы рассмотреть объект, движущийся равномерно в неинерциальной (релятивстски равноускоренной) системе отсчёта.

Реально, каждый раз мы сравниваем показания подвижного динамометра с показаниями одного из неподвижных динамометров, распределенных по высоте кабины лифта, мимо которых он проезжает. И находим отношение показаний подвижного к неподвижному в данной точке. Т.е. нет требования совпадения показаний неподвижных акселерометров распределенных по высоте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 20:06 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Z.S. в сообщении #1171472 писал(а):
Т.е. нет требования совпадения показаний неподвижных акселерометров распределенных по высоте.
Да, это хорошее уточнение, но сказанное мной выше не меняет. С учётом этого и сказанного rustot получается, что показание всё-таки будет $ma$ без всяких множителей, зависящих от скорости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 21:19 
Заморожен


16/09/15
946
Какую вы с rustot скорость имеет ввиду то?
Есть обычная скорость в данной точке относительно материи, скорость в МСИСО материи( относительно воздуха в лифте, что тоже самое что и относительно стен в данной точке по вертикали).Она и имеет смысл, и с ней никаких проблем нет.МСИСО постоянно меняются , но скорость остается такой же.Предлагаю рассматривать задачу, имея ввиду именно ее и тогда для любого момента времени скорость в ИСО $v'=(v+u(t))/(1+vu(t)/c^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 21:24 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Erleker, с учётом замечания, сделанного rustot, и ваших ответов, под скоростью $v$ следует понимать скорость, измеренную в неинерциальной релятивистски равноускоренной системе отсчёта. Просто способ это сделать уже прозвучал:
rustot в сообщении #1171409 писал(а):
По моему проще решать обратную задачу, задаться одинаковым собственным ускорением но разной начальной скоростью двух тел относительно какой то исо

$\vec{v_1}(t) = \frac{c}{\sqrt{k^2/t^2+1}}$
$\vec{v_2}(t) = \frac{c}{\sqrt{k^2/(t+t_0)^2+1}}$

а потом посмотреть какой будет скорость и координата второго в исо сопутствующей первому, в разные моменты собственного времени первого

 Профиль  
                  
 
 Re: Что покажет динамометр
Сообщение24.11.2016, 21:37 
Заморожен


16/09/15
946
Z.S. в сообщении #1171472 писал(а):
1. Вот нашел формулу у Сажина М. "Теория относительности", для координатного ускорения в лабораторной СО

$\frac{d^2x^i}{dt^2}=-c^2\Gamma _{00}^{1}-2c\Gamma _{0k}^{i}\frac{dx^i}{dt}-\Gamma _{mn}^{i}\frac{dx^m}{dt}\frac{dx^n}{dt}+[c\Gamma _{00}^{0}+2\Gamma _{0k}^{0}\frac{dx^i}{dt}+\frac{1}{c}\Gamma _{mn}^{0}\frac{dx^m}{dt}\frac{dx^n}{dt}]\frac{dx^i}{dt}\; \; \; (8.9)$

Здесь, предварительно, надо брать для моей задачи, когда кабина покоится на планете, $ m=n=i=k=1$ , верно?

Честно, я ни разу не видел эту формулу, но так понимаю, что это просто выражение $d^2x^i/(dx^0)^2$ из уравнения геодезических $d^2x^i/ds^2=-\Gamma _{lk}^{i}u^ku^l$.(И у вас вообще с индексами что-то, вы наверное не так списали.)Зачем она вам?Вы собираетесь считать частные производные?Ускорение свободного падения можно сразу найти ,например, через энергию.


Z.S. в сообщении #1171472 писал(а):

2. Erleker, я брал, что $a$ - собственное ускорение лифта.

Почему у вас во втором случае написано: $F1B=ma$? Где вы учли влияние гравитации?
Z.S. в сообщении #1171472 писал(а):
Правильно я понимаю, что для того чтобы найти трехмерную силу в координатах лабораторной СО надо поделить изменение координатного импульса в лабораторной СО на изменение времени в лабораторной СО, т.е.

$\bar{F}_{lab}=d\bar{p}_{lab}/dt$

Ну да, для результирующей обычной трехмерной силы так.

-- 24.11.2016, 23:02 --

warlock66613 в сообщении #1171487 писал(а):
Erleker, с учётом замечания, сделанного rustot, и ваших ответов, под скоростью $v$ следует понимать скорость, измеренную в неинерциальной релятивистски равноускоренной системе отсчёта.

Есть гиперболическая НСО:
$ds^2=c^2dt^2/(1+a^2t^2/c^2)-2(at/c)dxcdt/\sqrt{1+a^2t^2/c^2}-dy^2-dz^2-dx^2$
Как ваша скорость $v$ будет выражаться через $t,x$?

-- 24.11.2016, 23:36 --

Вообщем, если под $v$ подразумевать просто скорость относительно лифта в данной точке, то окончательно (подставив все в мою формулу):
$F2=\frac{GMm/r^2}{(1-2GM/c^2r)}\sqrt{\frac{1-v^2/c^2}{1-((v+u(t)/(1+vu(t)/c^2)^2/c^2}}+\frac{ma}{(1-v^2/c^2)^3/2}$
Надо еще проинтегрировать ,чтобы найти $u(t)$ для релятивистски равноускоренного( то есть локально) решения $ds^2=(1+2\varphi/c^2)c^2dt^2-dr^2$, но это уже, я думаю, интереса не представляет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group