Доказательство по математической индукции

[BuTeR:D]

Всем привет!
Дали задание доказать теорему по математической индукции
Теорема: $\tilde{N}(k)$ - число элементов, обладающих k свойствами
$\tilde{N}(k)$ - это некое число, представленная формулой (находится ниже), также надо доказать правильность формулы (находится ниже)
Обозначения: $n$ - общее количество свойств, свойства нумеруются от 1 до $n$, $k$ - количество свойств, N_{i_{1}...i_{s}} - это количество элементов, обладающих свойствами $i_1, \dots, i_s$, $\tilde{N}(k)$ - количество элементов, орбладающих ровно $k$ свойствами (любыми).
Формула для доказуемой теоремы:
$\tilde{N}(k) = \sum\limits_{s=k}^{n}(-1)^{s-k} {\textrm{C}_{s-1}^{k-1}} \sum\limits_{1 \leq i_{1}<...< i_{s}\leq n}^{} N_{i_{1}...i_{s}}$
Доказательство:
$\tilde{N}(k) = \sum\limits_{m=k}^{n}N(m) = \sum\limits_{m=k}^{n}\sum\limits_{s=m}^{n}(-1)^{s-m}{\textrm{C}_{s}^{m}}\sum\limits_{1 \leq i_{1}<...< i_{s}\leq n}^{}N_{i_{1}...i_{s}} =
$ = \sum\limits_{s=k}^{n}\sum\limits_{m=k}^{s}(-1)^{s-m}{\textrm{C}_{s}^{m}}\sum\limits_{1 \leq i_{1}<...< i_{s}\leq n}^{}N_{i_{1}...i_{s}} =
$ = \sum\limits_{s=k}^{n}\sum\limits_{1 \leq i_{1}<...< i_{s}\leq n}^{}N_{i_{1}...i_{s}}\sum\limits_{m=k}^{s}{\textrm{C}_{s}^{m}}$
Руководствуясь преобразованием (1), получается такая формула:
$\tilde{N}(k) = \sum\limits_{s=k}^{n}\sum\limits_{1 \leq i_{1}<...< i_{s}\leq n}^{}N_{i_{1}...i_{s}}(-1)^{s-m}{\textrm{C}_{s-1}^{k-1}}$
$\tilde{N}(k) = \sum\limits_{s=k}^{n}(-1)^{s-k} {\textrm{C}_{s-1}^{k-1}} \sum\limits_{1 \leq i_{1}<...< i_{s}\leq n}^{} N_{i_{1}...i_{s}}$
Что и требовалось доказать.
Преобразование (1):
$\sum\limits_{m=k}^{s}(-1)^{s-m} {\textrm{C}_{s}^{m}} = (-1)^{s-k}{\textrm{C}_{s}^{k}} + (-1)^{s-k+1}{\textrm{C}_{s}^{k+1}} ... (-1)^{s-(s-1)}{\textrm{C}_{s}^{s-1}}(-1)^{s-s}{\textrm{C}_{s}^{s}} = $
$ = \underbrace{{\textrm{C}_{s-1}^{s-1}} - {\textrm{C}_{s}^{s-1}}}_{{-\textrm{C}_{s-1}^{s-2}}} + {\textrm{C}_{s}^{s-2}} - ... + (-1)^{s-k}{\textrm{C}_{s}^{k}} = (-1)^{s-k}{\textrm{C}_{s-1}^{k-1}}$
Получилось ли у меня доказать теорему по математической индукции? Ломаю голову над этой задачей не один день
Помогите, пожалуйста

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[BuTeR:D]

Ап тему

[Brukvalub]

BuTeR:D в сообщении #1170077 писал(а):

Получилось ли у меня доказать теорему по математической индукции?

Опишите здесь, что такое "математическая индукция".

[Lia]

BuTeR:D
Замечание за искусственное поднятие темы бессодержательным сообщением. post1170991.html#p1170991

[nazarov_m]

Вначале вам нужно определиться по какой переменной вы будете проводить индукцию. Вы хотите показать что ваша формула справедлива для любого $n$?
Собственно доказательство по индукции строится в два этапа.
Вначале нужно доказать базис индукции (для $ n = 1$). Подставляете и смотрите верна ли ваша формула.
Затем доказывается индуктивный переход. Предполагается что формула верна для $n$, доказываем что будет верно для $n+1$. Если получилось, то доказательство завершено.