Избранные теоремы и замечательные факты

[student2]

Здравствуйте, многоуважаемые господа, господья, господцы... и господихи!
Предлагаю обсудить такую важную тему, как дополнительное образование.
Под этим термином я подразумеваю различного рода замечательные (избранные) теоремы, которые, не смотря на свою красоту, не включены в стандартные образовательные программы.

(Тезис для тех, кому многабукаф)

В этой теме предлагаю обсудить, что должен знать, а также прочесть математический эрудит (точнее, что неплохо бы знать/прочесть таковому). Предлагайте книги или сразу выписывайте теорему (желательно с доказательством). У нас уже есть похожая тема про красивые соотношения, пусть теперь будет и про теоремы.

И начну, пожалуй, с небольшой предыстории. По образованию я не математик, математикой занимаюсь, как хобби, и знания черпую исключительно из книг, тобишь путем самообразования, чистейший автодиктат. И какое-то время назад столкнулся со следующей проблемой; читая учебник, мне крайне сложно было понять абстрактные идеи, которые в нем излагались, при этом необходимые теоретические сведения у меня имелись. А все потому, что начав в свое время изучать математику, я почти что полностью игнорировал такую важную вещь, как нестандартные (олимпиадные) задачки. Для понимания базовых вещей много ума не нужно, но чем дальше ты продвигаешься, чем абстрактнее идеи, тем сложнее становится неподготовленному, без развитой математической культуры человеку. И вот на тот момент я, кажется, уперся в свой барьер, дальнейшее освоение математики давалось уже с трудом и (неоправданно) большими затратами времени. Мои жалкие попытки продвинуться вперед выглядели примерно также, как если бы гуманитарию дали "Нормированные кольца" Наймарка и заставили читать. Да, в начале книги в сжатом виде там даются (почти) все необходимые для дальнейшего чтения теоремы и термины, но, бьюсь об заклад, нет ни одного человека, который приступил бы к этой книге, не зная определения линейного пространства. Тобишь, возвращаясь к теме, формально освоение этой книги гуманитарием возможно, но де-факто, не имея подготовки, он едва сдвинется с места. (Нет, это не тот учебник на котором я застрял :) Он лишь подходит для примера)
Таким образом, я решил временно приостановить свое развитие в области теории и попрактиковаться, чтобы вырастить у себя (в себе) хоть какую-то математическую культуру. Математическая культура предполагает наличествование (да! наконец употребил это слово) всего двух вещей: эвристики (само собой развитой) и эрудиции. С первым все очень просто; берешь и решаешь все подряд, от мала до велика простого до сложного, так сказать, брутфорс. Естественно, далеко не все задачи поддаются решению (даже при большом количестве угробленного потраченного на них времени), но на то есть помощь зала форумы или репетиторы (мне в этом плане повезло; есть друг-математик, который безвозмездно со мной занимается и отвечает на мои глупые вопросы). Однако со вторым пунктом дела обстоят куда сложнее.
Читая брошюру Гордина "Это должен знать каждый матшкольник", я с удивлением для себя обнаружил, что в перечни золотых теорем, которые по мнению автора должны проходится в матшколе ОТСУТСТВУЕТ ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА (далее ТВ). И вот с этого странного открытия и пошла цепная реакция, которая в итоге вынудила меня создать эту тему. Я до того момента считал, что параллелограмм Вариньона - это достаточно красивый (и простой) математический факт, который не то чтобы математикам, но и простому люду неплохо бы знать, а тут нате; достаточно известный автор книжек по геометрии не считает эту теорему такой уж красивой, чтобы о ней даже матшкольники знали, и тут дело не только в красоте, она и для олимпиадных задачек может быть полезна. Взбесившись, я полез в задачники Прасолова и Шклярского-Никольского-Яглома, которые вместе содержат ну невероятное количество т.н. избранных, красивых теорем. И ТВ там тоже не было! Я обыскал и другие свои задачники и книжки, которые могли бы содержать эту теоремку,- пусто. Далее я продолжил поиски в интернете, скачал всяко разно факультативных-элективных-углубленных книг, в т.ч. все из этого списка. И опять, ТВ не было! В итоге, я таки отыскал ее в "Дополнительных главах" к учебнику Атанасяна (его же авторства). И только в нем! Ну а тут такое дело, в обычных школах такими пособиями не пользуются (детки нынче такие, что им хотя бы простые вещи из геометрии понять), а в матшколах не только какими-то дополнительными пособиями, но и учебниками не пользуются (по крайней мере у нас в 239 так было. Из учебника только сложные задачи брались, ещё отдельный задачник был, и он писался специально для лицеистов, кому интересно - гуглите Лейбсон. Вся теория излагалась только на уроках). Иными словами, приходим к выводу, что если вам об этой теоремке кто-нибудь не рассказал, то вы скорее всего и вовсе о ней не узнаете. И ТВ - это лишь одна из многих таких теорем.
В этой теме предлагаю обсудить, что должен знать, а также прочесть математический эрудит (точнее, что неплохо бы знать/прочесть таковому). Предлагайте книги или сразу выписывайте теорему (желательно с доказательством). У нас уже есть похожая тема про красивые соотношения, пусть теперь будет и про теоремы. Надеюсь, господа, вы не будете скромничать или боятся, что вас обвинят в тривиальщине, и тема будет частенько пополнятся. Конечно, в основном подразумевается теоремы/книги (статьи), которые мог бы понять/освоить олимпиадник, но вещи, уходящие на сколь бы то ни было далекое расстояние от уровня матшкольника, также приветствуются. Любые интересные факты из любой области!
Итак, я начну и сразу выпишу очевидныеейшие вещи:
Библиотечка Квант, журнал Квант, журнал Квантик, журнал Математическое просвещение, библиотека Математическое просвещение, Популярные лекции по математике, Библиотекчка Физмат школы... вообще говоря всё это есть в теме про научно-популярную литературу (хотя научпопом, как таковым, они в основном не являются), в таком случае условимся, что всё, перечисленное там, сюда записывать не будем.
А вот не совсем тривиальные:

• Энциклопедия элементарной математики 5 томов (хотя планировалось 7)
• Серпинский - 250 задач по элементарной теории чисел
• Устинов, Алфутова - Алгебра и теория чисел (Замечательнейший задачник с большим количеством сабжа, а также четко структурированной программой в конце)
• Фукс, Табачников - Математический дивертисмент
• Яковлев - Комбинаторика для олимпиадников
• В "Задачах СПБ олимпиады по математике" регулярно встречается и отдельно выделяется сабж
• Ну и, например, еще "Геометрические миниатюры" Скопца

Выражаю надежду, что к обсуждению также присоединятся непосредственно педагоги (Brukvalub, например), а также бывшие матшкольники и заядлые олимпиадники.

(Примечание)

Отмечу, в разделе уже есть похожая тема (закреплена), но сформулированный в ней предмет обсуждения не идентичен данному.

[Brukvalub]

Если принять во внимание мнение Р.К. Гордина, одного из сильнейших методистов по продвинутой школьной геометрии, то он тоже не считает ТВ существенным фактом, судя по ссылке.
Посмотрите книги Понарина: эту, эту, и другие его книги, например вот эту по геометрии, они, на мой взгляд, весьма хороши для вдумчивого матшкольника.
Если бы я сейчас был матшкольником, я бы взахлеб читал книгу Айгнер, Циглер, Доказательства из Книги.

[wrest]

student2 в сообщении #1169803 писал(а):

И ТВ там тоже не было!

Если речь о том, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, то это обычная рядовая задача из обычного учебника геометрии 8 класса (Атанасян, Геометрия 7-9 классы, 20-е изд., стр. 153, задача 567).

[student2]

(Brukvalub)

Brukvalub в сообщении #1169813 писал(а):

Посмотрите книги Понарина, они, на мой взгляд, весьма хороши для вдумчивого матшкольника.
Если бы я сейчас был матшкольником, я бы взахлеб читал книгу Айгнер, Циглер, Доказательства из Книги.

Хех, из перечисленных мне осталось только "Аффинную и проективную", но она пойдет, уже как повторение.

wrest в сообщении #1169814 писал(а):

Если речь о том, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, то это обычная рядовая задача из обычного учебника геометрии 8 класса (Атанасян, Геометрия 7-9 классы, 20-е изд., стр. 153, задача 567).

Опа! Интересно, но изложенное там мне точь-в-точь напомнило вот этот момент лекции одного известного учителя. Странно, что при этом в упомянутом мной пособии она выделяется отдельно. А вообще не стоило заострять внимание на ТВ, это был неудачный, тупенький пример, имеющий большее отношение к предисловию, чем к теме.
В разных матшколах/кружках рассказывают разные интересные вещи, хотелось бы подыскать что-то на подобии сборника такого. Все-таки у Прасолова и Шклярского скорее задачники, чем сборники теорем, и многие задачи из них интересны именно, как тренировочный материал, а не как отдельный математический факт.

[VAL]

Продолжая ряд полезных матшкольнику книжек, упомяну такую классику:
$\bullet$ Коксетер, Мозер. Новые встречи с геометрией
$\bullet$ Курант, Роббинс. Что такое математика
Кстати, в первой есть теорема Вариньона. Но, как говорится, любим мы ее не за это

[bot]

student2 в сообщении #1169803 писал(а):

Иными словами, приходим к выводу, что если вам об этой теоремке кто-нибудь не рассказал, то вы скорее всего и вовсе о ней не узнаете.

Спасибо, если бы поленился прочитать стока многа буков, то и не узнал бы, что задачка, которую я использую на собеседованиях более 50 лет, носит имя доселе неизвестного мне француза.
Устыдился - я ведь, злыдень такой, обычно ещё один шажок добавлял: просил доказать, что отрезки, соединяющих середины противоположных сторон 4-угольника в точке пересечения делятся пополам. В своё оправдание могу только сказать, что углы в 4-угольнике не допускал $\geqslant \pi$. Это мне зачтётся?

[student2]

VAL в сообщении #1170023 писал(а):

$\bullet$ Коксетер, Мозер. Новые встречи с геометрией
$\bullet$ Курант, Роббинс. Что такое математика

Про первую знаю, она в планах, вторую читал еще относительно давно (осилил с конспектом и решением всех задач всего за 3 дня! правда, читал почти перманентно)
Раз уж мы заострили внимание на литературе, хотелось бы также услышать советы Munin, ewert, Ktina, которые, надо полагать, в книгах такого рода хорошо разбираются.

-- 20.11.2016, 04:14 --

Добавлю, что с goodbooks.txt я знаком, книжек по теме там немного, и часть я уже прочитал, часть взял на прицел.

[gris]

А я помню два замечательных наглядных пособия по Теореме. Четыре рейки по углам скреплены шарнирами, а в их серединах вбиты гвоздики, на которые накидывается кольцо из резинки. Четырёхугольник деформируется, а резинка всё время принимает форму параллелограмма. В другой модели очень длинное кольцо из очень эластичной резинки поделено яркими шариками на восемь частей. Взяв вдвоём за чётные шарики, можно произвольно, как позволяет резинка, располагать их не только на столе, но и в пространстве. Нечётные шарики довольно отчётливо будут располагаться в вершинах параллелограмма. Конечно, на первой модели это лучше видно, но вторая интереснее. Школьники, даже умеющие создать соответствующую 3D модель на компьютере, от натуральных моделек пребывают в восторге.

[Munin]

student2 в сообщении #1170220 писал(а):

Раз уж мы заострили внимание на литературе, хотелось бы также услышать советы Munin, ewert, Ktina, которые, надо полагать, в книгах такого рода хорошо разбираются.

Не будет, не разбираюсь.

[Ktina]

student2 в сообщении #1170220 писал(а):

Раз уж мы заострили внимание на литературе, хотелось бы также услышать советы Munin, ewert, Ktina, которые, надо полагать, в книгах такого рода хорошо разбираются.

Разбираюсь скверно, но могу показать рыбное место, где подобной литературы, надеюсь, найдётся немало:
http://ilib.mccme.ru

[arqady]

Поймал себя на мысли, что книг уже почти не читаю , но решаю по-прежнему очень много, ну и придумывается немало (типа, сам себе книга ).

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: пока сюда, более подходящего раздела нет.

[student2]

После поисков пришел к выводу, что сборника такого не существует (в геометрической области, по крайней мере, и я имел в виду большого сборника), можно только в разных местах искать списки, а потом отдельно гуглить каждую теорему из них. Или читать литературу по конкретной узкой теме; отдельно по треугольникам, отдельно по окружностям, отдельно по векторам, по геометрическим неравенствам, по метрике, по тригонометрии, по многогранникам, по преобразованиям... итд. Вот в таких пособиях много интересного, но в этом случае, даже если выделить по каждой теме только основные книги, получится невероятное количество материала! Добавить к этому различные статьи (в том же Кванте, Матпросвещении полно эксклюзивно публикуемых вещей, которые в книгах не найдешь), и если учится по 15 часов в день (лишь с перерывами на сон и прием пищи), уйдет около 3-4 месяцев на освоение всего (с решением задач).

Однако, нашел одну примечательную вещь: "Теоремы и задачи школьной геометрии" Гордина (вышла она в 2015, поэтому ebook пока нету). Как я понял, это, суть, дополненная и переделанная "Это должен знать каждый матшкольник", у них даже предисловие одинаковое. И вот это новое издание куда более полное (если предыдущие было чем-то вроде теорминимума, то это, можно сказать, теормаксимум). К тому же все теоремы, факты, задачи в этом пособии апеллируют к сайту zadachi.mccme.ru, который очень умно сделан, можно и подсказку посмотреть, и решение сразу. Поэтому в книге доказательства опускались, и вместо них вся книга заполнена сабжем (вторая ее часть).
Это пока лучшее, что я отыскал.

(Оффтоп)

Впрочем, может большего мне и не нужно, детектор книжка прошла

[wrest]

student2 в сообщении #1171027 писал(а):

После поисков пришел к выводу, что сборника такого не существует (в геометрической области, по крайней мере, и я имел в виду большого сборника), можно только в разных местах искать списки, а потом отдельно гуглить каждую теорему из них.

Мне не так давно попался вот такой сборник: Арсений Акопян, "Геометрия в картинках". Москва, 2011. http://www.mccme.ru/free-books/akopyan/Akopyan.pdf
На мой взгляд, сборник хороший, но только по планиметрии.
Там нет никаких слов, только картинки - геометрические факты. Ну и кое-где очень краткое пояснение, типа "Это прямая Эйлера".

(Пара примеров)

Например, есть такая картинка:

Означает "Дан описанный вокруг окружности четырехугольник. Если из середины хорды, образованной диагональю этого четырехугольника, провести отрезки к двум другим вершинам этого четырехугольника, то углы между этой диагональю и отрезками будут равны"
Или

Сплошными линиями показаны условия (что дано), а пунктиром -- что получится (доказать, что эти хорды равны).