Что покажет динамометр

[Z.S.]

Задача

Случай А

Есть кабина. Есть гиря массой $m$. Кабина движется в пустоте с постоянным собственным ускорением $a$. Направление ускорения перпендикулярно полу кабины. На стенке кабины закреплен неподвижный динамометр. На динамометре подвешена гиря. Показание неподвижного динамометра

$F_{1A}=ma$

Рядом с неподвижным динамометром перемещается вертикально подвижный динамометр также с подвешенной гирей. Скорость подвижного динамометра относительно стенок кабины $v$ . Показание подвижного динамометра, если исходить из соотношений СТО

$F'_{2A} = \frac{ma}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$

Случай В

Есть кабина. Есть гиря массой $m$. Кабина покоится на поверхности планеты. Направление ускорения свободного падения перпендикулярно полу кабины. На стенке кабины закреплен неподвижный динамометр. На динамометре подвешена гиря. Показание неподвижного динамометра

$F_{1B}=ma$

Рядом с неподвижным динамометром перемещается вертикально подвижный динамометр также с подвешенной гирей. Скорость подвижного динамометра относительно стенок кабины $v$ . Показание подвижного динамометра ищем учитывая формулу

$\bar{F}=-GM\frac{E}{c^2}[(1+\beta ^2)\bar{r}-(\bar{r}\bar{\beta} )\bar{\beta} ]r^{-3}$

Тогда показание подвижного динамометра

$F'_{2B}=\frac{ma}{(1-v^2/c^2)^{1/2}}$

warlock66613, вот вывод

Мы находимся на планете. Допустим на Земле (поле слабое). По условию (вертикальное перемещение): $\bar{r}\parallel \bar{\beta }$

Поэтому

$\bar{F}=-GM\frac{\bar{r}}{r^3}\frac{E}{c^2}$

По абсолютной величине

$F=\frac{GM}{r^2}\frac{E}{c^2}$

Энергия движущегося тела

$E=\frac{mc^2}{(1-v^2/c^2)^{1/2}}$

Величина ускорения свободного падения

$a=\frac{GM}{r^2}$

Связь между величиной силы в подвижной и неподвижной системе

$F'_{\parallel }=F_{\parallel }$

Результат

$F'_{2B}=F'=F=\frac{ma}{(1-v^2/c^2)^{1/2}}$


Верно или нет?

[warlock66613]

Можно увидеть вывод формулы для $F_{2B}$?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- заполните лакуны в выводе.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[warlock66613]

Z.S. в сообщении #1170338 писал(а):

Показание подвижного динамометра, если исходить из соотношений СТО
$F'_{2A} = \frac{ma}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$

Если исходить из СТО такого не получается. Я даже написал кое-какие контрольные выкладки на всякий случай, и получил в итоге $F_{2A}=F'_{2A}=ma$. И это вполне ожидаемо: ну никак не может динамометр измерить собственную скорость! В СТО вообще не может быть верным соотношение, где с одной стороны стоит инвариантная величина (показания динамометра), а с другой — неинвариантная (из-за скорости, которая разная в разных СО).

-- 22.11.2016, 01:02 --

Что касается случая $B$, то, по-видимому, проблема в общем та же и зарыта тут:

Z.S. в сообщении #1170338 писал(а):

Величина ускорения свободного падения

$a=\frac{GM}{r^2}$

Не может инваринтная величина $a$ выражаться через неинвариантное $r$. Вот если добавить в правую часть $v$, тогда другое дело: правильная комбинация двух неинвариантных величин может быть инвариантной.

[rustot]

Z.S. в сообщении #1170338 писал(а):

Скорость подвижного динамометра относительно стенок кабины $v$

Не очень понятно что это за величина

Если протяженное тело движется ускоренно, то в общем случае нет исо относительно которой все его точки движутся с одной скоростью. В частности в исо относительно которой скорость кормы в данный момент переходит через ноль, скорость носа нулю в общем случае не равна. То есть можно добиться специальным распределением сил чтобы однажды относительно одной из исо скорости всех точек совпали, но продолжительно это делать без разрушения тела не получится. То есть $v$ это может быть допустим скорость относительно исо, в которой в данный момент переходит через ноль скорость кормы, или носа, или точки корпуса напротив двигающегося тела, результат будет разным

[warlock66613]

Нет, всё-таки я ошибся в сообщении выше. Позже напишу где и почему.

[warlock66613]

Я ошибочно положил, что движение обоих динамометров гиперболично, причём их собственное ускорение одинаково и равно $a$. Разумеется, это не так.

В системе отсчёта, сопутствующей "неподвижному" динамометру ускорение обоих динамометров постоянно и равно $a$. Отсюда немедленно следует (можно, например, воспользоваться готовой формулой преобразования ускорения), что в системе отсчёта, сопутствующей "подвижному" динамометру ускорение обоих динамометров равно $\frac a {(1-v^2/c^2)^{1/2}}$. Таким образом, движение "подвижного" динамометра действительно гиперболично, но его собственное ускорение равно указанной выше величине, а его показание, таким образом,

$$F_{2A}=\frac{ma}{(1-v^2/c^2)^{1/2}}$$

Обращаю внимание, что степень именно $\frac 1 2$, а не $\frac 3 2$.

Таким образом, я делаю вывод, что, за исключением степени в формуле для $F_{2A}$, всё правильно.

[rustot]

Ну вот в ракете при устоявшихся силах все точки двигаются с одинаковым собственным ускорением. При этом в исо относительно которой скорость кормы переходит через ноль, скорость носа в этот момент ненулевая и направлена к корме. Но при этом в будущем при аналогичных проверках в других исо расстояние между носом и кормой остается численно прежним. Поэтому тут самый интересный вопрос - что подразумевается в условии под $v$. Какой считается $v$ у точки на носу?

[warlock66613]

rustot в сообщении #1171057 писал(а):

что подразумевается в условии под $v$

Я в своём решении подразумевал, что $v$ — это скорость "подвижного" динамометра в СО, сопутствующей "неподвижному" динамометру. Динамометры можно считать точками, и в таком случае всё объективно просто и (более или менее) понятным образом соотносится со "случаем $B$".

[Z.S.]

warlock66613

Почему у меня получилось $3/2$. Я рассуждал так, исходя из формулы ( принимается по условию $\bar{F}\parallel \bar{v},\bar{F}\parallel \bar{a}$ )

$\bar{F}=\frac{m\bar{a}}{(1-v^2/c^2)^{1/2}}+\frac{m(\bar{v}/c^2)(\bar{v}\bar{a})}{(1-v^2/c^2)^{3/2}} $

В некоторый момент времени, рядом с инерциальным наблюдателем находится неподвижный динамометр. Скорость его нулевая, ускорение ненулевое, в момент наблюдения. В этом случае, чтобы сообщить телу массой $m$ ускорение $\bar{a}$ потребуется сила

$\bar{F}=m\bar{a}$

В этот же момент времени, рядом с инерциальным наблюдателем перемещается подвижный динамометр. Скорость его ненулевая, ускорение ненулевое, в момент наблюдения. В этом случае, что бы телу массой $m$, перемещающемуся относительно наблюдателя со скоростью $\bar{v}$ , сообщить ускорение $\bar{a}$ потребуется сила

$\bar{F}=\frac{m\bar{a}}{(1-v^2/c^2)^{3/2}} $

[warlock66613]

Z.S., да, согласен. Всё-таки $\frac 3 2$. Это я неправильно ускорение преобразовал, за что очень извиняюсь. Что ж, в таком случае, из четырёх пунктов остаётся неясным только подвижный динамометр ($B$).

И тогда я возвращаюсь к прежней мысли: ошибка в неправомерности равенства $a=\frac {G M} {r^2}$. Должно быть $a = \frac {G M (1-v^2/c^2)} {r^2}$. Но это только предположение, вывода/обоснования у меня пока нет.

[rustot]

warlock66613 в сообщении #1171064 писал(а):

Я в своём решении подразумевал, что $v$ — это скорость "подвижного" динамометра в СО, сопутствующей "неподвижному" динамометру.

то есть $v = 0$ означает что со временем такое тело окажется вне ракеты если изначально отстоит от "неподвижного" на какое то расстояние? ведь у носа ракеты аналогичным способом определенное $v$ меньше нуля

[warlock66613]

rustot в сообщении #1171370 писал(а):

со временем такое тело окажется вне ракеты

Я не вижу необходимости на самом деле вообще говорить о лифте/ракете. Есть два точечных тела, движущихся определённым образом, и большего не требуется.

[rustot]

warlock66613 в сообщении #1171371 писал(а):

Я не вижу необходимости на самом деле вообще говорить о лифте/ракете. Есть два точечных тела, движущихся определённым образом, и большего не требуется

Я не против вашего решения для именно таким образом определенной $v$. Я про то что данная величина $v$ не совсем то чем она возможно интуитивно кажется, $v=0$ не означает неизменности расстояния между телами в череде сопутствующих однуму из них исо