Гомеоморфизм(Общая топология)

[art9]

Пусть X и Y - два мн-ва наделённые топологией.
По определению Гомеоморфизма 1)Существует биекция между X и Y 2 ) f и обратная к ней функция непрерывна .
Следствие 2-го пункта: Тогда должна существовать биекция между топологиями,а также биекция между 1-1 открытыми множества(прав ли я?)
Причём не требуется чтобы элементы множеств X и Y были равны,аналогично не обязательно чтобы были равны 1-1 открытые множества.

[alcoholist]

art9 в сообщении #1170886 писал(а):

также биекция между 1-1 открытыми множества(прав ли я?)

Да.

art9 в сообщении #1170886 писал(а):

не обязательно чтобы были равны

Равенство в математике -- редкая вещь. Вообще, нечто равно только самому себе, и то не всегда)

[art9]

alcoholist в сообщении #1170892 писал(а):

art9 в сообщении #1170886 писал(а):

также биекция между 1-1 открытыми множества(прав ли я?)

Да.

art9 в сообщении #1170886 писал(а):

не обязательно чтобы были равны

Равенство в математике -- редкая вещь. Вообще, нечто равно только самому себе, и то не всегда)

Спасибо,а сможете какие нибудь интересные примеры гомеорморфизма привести?Я только знаю: интервал (a,b) гомеом. R ,а сможете привести пример связывающих например геом.фигуры (сферу и.т.д ) с объектами другой природы те же полу открытые интервалы,интервалы?

[mihaild]

art9 в сообщении #1170896 писал(а):

связывающих например геом.фигуры (сферу и.т.д ) с объектами другой природы те же полу открытые интервалы,интервалы?

Таких не бывает. Вообще, при гомеоморфизмах сохраняется много разных интересных свойств, поэтому гомеоморфизмов мало.
Классический пример - чашка гомеоморфна бублику.

[art9]

mihaild в сообщении #1170897 писал(а):

art9 в сообщении #1170896 писал(а):

связывающих например геом.фигуры (сферу и.т.д ) с объектами другой природы те же полу открытые интервалы,интервалы?

Таких не бывает. Вообще, при гомеоморфизмах сохраняется много разных интересных свойств, поэтому гомеоморфизмов мало.
Классический пример - чашка гомеоморфна бублику.

Не бывает потому-что природа полу открытого интервала другая,чем природа точек сферы?или почему не может быть?

[Brukvalub]

Например, потому, что непрерывный образ компакта - компакт.

[art9]

Brukvalub в сообщении #1170900 писал(а):

Например, потому, что непрерывный образ компакта - компакт.

Спасибо,я еще не знаю этого определения.

[Someone]

art9 в сообщении #1170886 писал(а):

между 1-1 открытыми множества

art9 в сообщении #1170886 писал(а):

равны 1-1 открытые множества

Что такое "1-1 открытые множества"?

[Brukvalub]

art9 в сообщении #1170902 писал(а):

Спасибо,я еще не знаю этого определения.

Так узнайте. Вы взялись не за квадратный трехчлен, а за чуть более сложные вещи. Чего же вы хотите - чтобы здесь "Сеня быстренько объяснил товарищу, зачем Володька сбрил усы"? Так не бывает.

[Утундрий]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #1170892 писал(а):

нечто равно только самому себе, и то не всегда)

Иртеньев писал(а):

Лишь один себе равен в толпе я.
Лишь один. Да и то не вполне.

[art9]

Someone в сообщении #1170904 писал(а):

art9 в сообщении #1170886 писал(а):

между 1-1 открытыми множества

art9 в сообщении #1170886 писал(а):

равны 1-1 открытые множества

Что такое "1-1 открытые множества"?

множества которые получаются при биекции топологий

[Anton_Peplov]

art9
Тут важно понимать вот что. Топология и зародилась как наука о свойствах, которые сохраняются при гомеоморфизмах (когда еще и понятия топологического пространства не было, и все определения, включая определение гомеоморфизма, давались для $\mathbb R^n$). Поэтому не надо удивляться, что хаусдорфовость, компактность и прочие "топологические" свойства сохраняются гомеоморфизмами - они и формулировались так, чтобы сохраняться. Если хотите не сохраняющихся свойств, лучше сходить в метрические пространства. Например, гомеоморфизм не обязан сохранять ни ограниченность, ни полноту - $(0, 1)$ гомеоморфно $(-\infty, \infty)$.

[Mikhail_K]

art9 в сообщении #1170896 писал(а):

а сможете привести пример связывающих например геом.фигуры (сферу и.т.д ) с объектами другой природы те же полу открытые интервалы,интервалы?

Здесь знание строгих определений соседствует с явным отсутствием интуитивного понимания, что такое гомеоморфизм. Обычно бывает наоборот, гм. Но так тоже совсем нехорошо.

Поэтому вместо изложения теории я расскажу сказку.

Пусть в пространстве $X$ живёт жук (здесь и далее, пространство (топологическое) - это множество, наделённое топологией). Он может ползать по этому пространству туда-сюда, рисовать на нём разные фигуры, делать различные наблюдения, но у него нет линейки, циркуля, транспортира и вообще любых инструментов для измерения длин, углов, формы объектов.
И вот задумался жук - в каком же именно пространстве он живёт. И есть у него две гипотезы - что это пространство $X$ или что это пространство $Y$.
Так вот, если жук в принципе сможет разгадать эту загадку и установить, что он живёт именно в пространстве $X$, а не в пространстве $Y$ - тогда $X$ и $Y$ негомеоморфны, и гомеоморфизма между ними нет. Если же разгадать эту загадку и различить пространства $X$ и $Y$ для жука в принципе невозможно - тогда $X$ и $Y$ гомеоморфны.

Прежде всего, гомеоморфными оказываются те пространства, которые можно перевести друг в друга непрерывной деформацией без разрывов и склеиваний. Например, окружность гомеоморфна эллипсу, и любой другой замкнутой линии без самопересечений - любой длины. Потому что и по окружности, и по эллипсу жук может ползать туда-сюда, в одном направлении и в другом. Ещё он может отметить в каком-нибудь месте точку и убедиться, что если ползти из неё достаточно долго в одном направлении, то в конце концов придёшь в ту же точку. А инструментов для того, чтобы измерить длину линии или определить её форму, у жука нет. Поэтому он никогда не сможет узнать, на окружности он живёт или на другой замкнутой линии.

Но окружность негомеоморфна отрезку: если ползти по отрезку в любом направлении, то рано или поздно приползёшь в его конец, и дальше ползти уже нельзя. С окружностью всё иначе. Поэтому жук сможет определить, на окружности он живёт или на отрезке - если у него есть только эти две гипотезы.

Сфера гомеоморфна поверхности куба - по той же причине, что и окружность гомеоморфна квадрату. Но сфера негомеоморфна тору - поверхности бублика. Конечно, и на сфере, и на торе жук сможет совершить "кругосветное путешествие" и вернуться в ту же точку. Но если он отметит при этом свой маршрут, то обнаружит, что такой "кругосветный маршрут" на сфере всегда делит её на две части - грубо говоря, на два полушария. А если жук живёт на торе, то не всякий "кругосветный маршрут" делит его на две части - например, если обойти тор по меридиану.

Разумеется, окружность (равно как и отрезок) негомеоморфна ни сфере, ни тору. Потому что по окружности можно ползти только в двух направлениях - вперёд и назад, а по сфере и по тору - во многих разных.

И да, интервал гомеоморфен прямой - жук не сможет их различить. Казалось бы, что здесь сложного - ведь интервал конечен, а прямая бесконечна. Но жук может ползать только в пределах своего пространства, поэтому и до конца интервала он никогда не доползёт - иначе бы это был выход за пределы интервала. Жук может только асимптотически приближаться к концу интервала. Точно так же, жук может ползти по прямой всё дальше и дальше и дальше, уходя в бесконечность - но никогда её не достигая. Вот если бы у жука была линейка, он смог бы увидеть, что на интервале все длины не больше какого-то значения, а на прямой можно отмерить сколь угодно большую длину. Но линейки у жука нет, и интервал и прямая для него неразличимы - это гомеоморфные пространства.

Отрезок же негомеоморфен ни интервалу, ни прямой. Потому что отрезок можно проползти весь до конца, сесть в его конце и сказать: я дополз до края света. С интервалом и прямой так не получится. Отрезок можно отличить от интервала или прямой.

------------

Какая здесь связь с теорией? А вот какая. Все (внутренние) топологические свойства пространства (те, которые можно выразить в терминах топологии) при гомеоморфизме сохраняются. На этот счёт существует теорема. Но это именно те свойства, которые может обнаружить жук, не обладая никакими инструментами для измерения длин и углов и для определения формы объектов. Поэтому любые свойства, которые он сможет обнаружить, будут совершенно одинаковы для гомеоморфных пространств - и не позволят жуку отличить одно гомеоморфное пространство от другого.

Вот так.

[art9]

Спасибо вам,очень интересно,дело в том что я учусь в 8 классе,и у нас на мат кружке рассказывали про топологию, 3 занятия,давали понятия: внут,граница,внешность,разбиение X на 4 непересек.множества,база топологии,а в конце 3-го занятия дали понятие гомеоморфизма,и мне стало интересно что это такое,но у меня остался один вопрос,разве из того что f непрерывно не следует что обратная функция тоже непрерывна? ведь это аналогично мно-во A=B => B=A

[Mikhail_K]

art9 в сообщении #1170931 писал(а):

Спасибо вам,очень интересно,дело в том что я учусь в 8 классе,и у нас на мат кружке рассказывали про топологию

Топология в 8 классе - это очень классно.
Почитайте ещё вот эту тему: topic110798.html . Возможно, Вам будет интересно.
Ещё посоветую следующие книжки:

Болтянский, Ефремович. Наглядная топология
Фоменко. Наглядная геометрия и топология
Прасолов, Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия
Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

Они довольно интересные и нескучные.

art9 в сообщении #1170931 писал(а):

но у меня остался один вопрос,разве из того что f непрерывно не следует что обратная функция тоже непрерывна?

Нет, не следует.
Контрпример: функция, ставящая в соответствие числу $\varphi\in[0,2\pi)$ точку с соответствующей координатой на единичной окружности. Эта функция непрерывна (когда точка $\varphi$ непрерывно движется по интервалу $[0,2\pi)$, соответствующая точка на окружности тоже движется непрерывно). Но обратная функция, ставящая в соответствие точке на окружности её координату, разрывна: когда точка, двигаясь по окружности, пересекает положительную полуось оси абсцисс, например сверху вниз, её координата меняется скачком с нуля до значений, близких к $2\pi$.

art9 в сообщении #1170931 писал(а):

ведь это аналогично мно-во A=B => B=A

Нет, не аналогично.

Кстати, Вы уже несколько раз нарушили правила данного форума. Все формулы должны записываться в системе $\TeX$ - см. краткие указания в теме topic18634.html , во втором сообщении. Кроме того, в последнем сообщении у Вас слишком большая цитата. Чтобы процитировать собеседника, выделяйте только тот фрагмент его сообщения, на который хотите ответить, и нажимайте кнопку "Вставка" в цитируемом сообщении.