Счетное объединение в определении топологии

[LORDIF]

Добрый день.
Рассмотрим определение топологии.
Пусть $X$ -- множество, а $\tau$ -- множество подмножеств множества $X$. Тогда $\tau$ называется топологией на $X$ если:
1) Пустое множество и само множество $X$ являются элементами $\tau$,
2) Объединение любого количества (возможно счетного) элементов из $\tau$ также является элементом из $\tau$,
3) Пересечение конечного числа элементов из $\tau$ также является элементом из $\tau$.

Почему возможно объединение счетного числа элементов, но в то же время пересечение допускается лишь конечного количества элементов? Можно ли как-нибудь объяснить именно такой выбор?

Также я не могу привести примера, который бы приводил какие-либо отличия между пересечение конечного числа элементов и счетного числа элементов.

[loshka]

topic47220.html

[Anton_Peplov]

LORDIF в сообщении #1144209 писал(а):

Объединение любого количества (возможно счетного)

несчетного тоже. Просто - любого.

LORDIF в сообщении #1144209 писал(а):

Почему возможно объединение счетного числа элементов, но в то же время пересечение допускается лишь конечного количества элементов? Можно ли как-нибудь объяснить именно такой выбор?

Понятие топологического пространства - это обобщение понятия метрического пространства, где открытое множество определяется как объединение открытых шаров. А оно, в свою очередь - обобщение пространства $\mathbb{R}^n$ и, наконец, просто числовой прямой, где открытое множество - объединение интервалов $(a, b)$. С этими интервалами люди возятся со времен динозавров, а понятие топологического пространства только в XX в. сформулировали - и сформулировали так, чтобы обобщить старые результаты, а не потерять их. Т.е. если множество было открытым/замкнутым в том смысле, что оно есть объединение интервалов $(a, b)$ / дополнение такого объединения, то оно должно остаться открытым/замкнутым и в новом, более общем смысле, когда мы определяем понятие топологического пространства и его базы и говорим, что открытые интервалы (и вообще открытые шары в метрическом пространстве) образуют базу топологии. Как говорят в известной телепередаче, внимание, вопрос: чему равно пересечение всех интервалов $(-q, q)$ таких, что $q \in \mathbb{Q}_{>0}$?

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1144219 писал(а):

всех интервалов $(-q, q)$ таких, что $q \in \mathbb{Q}$

Если брать все, то будет пустое, потому что, например, $(1;-1) = \{ x\in\mathbb R : 1 < x \wedge x < -1 \}$. Придётся брать $q\in\mathbb Q_{>0}$.

[LORDIF]

Большое спасибо, понял почему счетное пересечение не подходит.
Однако можете объяснить или дать ссылку на информацию, где объясняется почему топология задается именно таким образом и как топологическое пространство вообще обобщает метрическое пространство.

[Anton_Peplov]

LORDIF в сообщении #1144226 писал(а):

как топологическое пространство вообще обобщает метрическое пространство.

Еще раз. Понятия открытого/замкнутого множества, непрерывной функции, гомеоморфизма и т.д. были сформулированы сначала для $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^n$. Открытое множество понималось как объединение открытых шаров. Открытый шар радиуса $r$ с центром $\vec x^0 = (x^0_1, x^0_2, ... x^0_n)$ в $\mathbb{R}^n$ понимался как множество всех точек $\vec x = (x_1, x_2, ... x_n)$ таких, что $\sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k - x^0_k)^2} < r$. Потом возникло понятие метрического пространства с абстрактным определением расстояния, не привязанным ни к каким координатам, и понятие открытого шара, а с ним и открытого/замкнутого множества, непрерывности и т.д., было перенесено на него. А уж потом было замечено, что так определенные открытые множества имеют простые свойства, известные нам сегодня как определение топологического пространства, и что если потребовать только выполнения этих свойств и ничего больше, многие фундаментальные теоремы сохранятся. Вот это и называется "метрическое пространство - частный случай топологического". А чтобы сохранить удобный метод "придумываем некий запас открытых множеств и всю топологию получаем как их всевозможные объединения", как это было с открытыми шарами, а еще раньше - просто с интервалами, придумали понятие базы топологии. Не знаете, что это такое - узнайте.

[arseniiv]

LORDIF
Топология в таком определении — это множество всех открытых с её точки зрения множеств. Ещё иногда берут замкнутые вместо открытых, и тогда уже объединения допустимы только конечные, а пересечения — любые. Почему открытые предпочтительнее замкнутых, может, кто-нибудь расскажет, если это не просто традиция.

LORDIF в сообщении #1144226 писал(а):

и как топологическое пространство вообще обобщает метрическое пространство

Избавляясь от метрических соотношений и оставляя только открытость/замкнутость, окрестности и пределы. В общем, «близость».

-- Пн авг 15, 2016 20:40:34 --

Да, база — великая вещь. И предбаза, когда она есть.

[kp9r4d]

LORDIF в сообщении #1144226 писал(а):

Однако можете объяснить или дать ссылку на информацию, где объясняется почему топология задается именно таким образом и как топологическое пространство вообще обобщает метрическое пространство.

Посмотрите эту дискуссию на MO.

[LORDIF]

Большое спасибо за ответы

[Mikhail_K]

Скажу так. Определение топологии через систему открытых множеств, приведённое в стартовом посте этой темы, конечно, наиболее каноническое и наиболее используемое.
Но вряд ли кто-то будет возражать, что оно совершенно контр-интуитивно.

Сравните его хотя бы с определением метрического пространства: там интуиция сразу интерпретирует метрику $\rho$ как расстояние, а аксиомы метрики - как самые естественные свойства расстояния. Когда пытаются пояснить на интуитивном уровне, что такое топологическое пространство, говорят о какой-то "близости" или "непрерывности" - но связь всего этого с самим определением совсем не очевидна.

Почему, скажем, в учебнике Коломогорова-Фомина (и, наверное, в большинстве других подобных учебников) разные типы пространств вводятся в несколько неестественном порядке: метрические -> топологические -> нормированные -> банаховы -> гильбертовы? Видно, что это почти порядок от самых общих пространств к самым частным, но только метрические и топологические пространства спутаны местами. Причина этого проста: только у топологических пространств соверешенно контр-интуитивное определение, и для того чтобы его вообще понять, надо вначале изучить свойства открытых множеств в метрических пространствах.

----------

Но есть гораздо более внятное определение топологии. (Почти в таком виде оно приводится в знаменитом двухтомнике Куратовского.) Оно базируется на интуитивно ясном понятии точки прикосновения. Итак, на множестве $X$ определена топология, если для каждого подмножества $M\subset X$ указано, какие точки из $X$ прикасаются к множеству $M$, а какие нет. Эквивалентно, если для каждого подмножества $M$ указано его замыкание - множество точек прикосновения. Замыкание должно удовлетворять следующим аксиомам:
1) $\overline{M\cup N}=\overline{M}\cup \overline{N}$;
2) $M\subset \overline{M}$;
3) $\overline{\overline{M}}=\overline{M}$;
4) $\overline{\varnothing}=\varnothing$.
Эти аксиомы столь же естественны с точки зрения интуиции (если помнить, что замыкание есть множество точек прикосновения), как и аксиомы метрики в определении метрического пространства. Что такое точка прикосновения - представить себе на порядок проще, чем что такое открытое множество. И никаких бесконечных объединений, заметьте.

Введя определение топологии указанным образом, можно затем ввести (опять же, совершенно естественно) понятие границы множества $\partial M=\overline{M}\cap\overline{X\backslash M}$ (это множество точек, прикасающихся и к $M$, и к его дополнению), внутренности множества ${\rm{Int}} M=M\backslash\partial M$, открытого множества (это когда $M={\rm{Int}}M$) и замкнутого множества (это когда $\overline{M}=M$). Затем можно изучить свойства открытых и замкнутых множеств, доказать для них теоремы про объединения и пересечения (как в традиционном определении топологии), и дальше ими пользоваться где нужно. У того же Куратовского на первых же страницах вводится и более традиционное определение топологии через системы открытых множеств и доказывается эквивалентность этих определений. Я считаю, что с педагогической точки зрения начинать изучение топологии нужно именно так. Вначале - интуитивно ясное определение, а уж потом - всюду использующееся.

-- 15.08.2016, 20:24 --

Между прочим, ключевое в топологии понятие непрерывного отображения также определяется в рамках указанной мной идеологии максимально естественно - как отображение, сохраняющее отношение прикосновения - не отрывающее ни одну точку ни от одного множества. А гомеоморфизм - это когда и обратное отображение тоже сохраняет отношение прикосновения - вот вам и деформация без разрывов и склеиваний. Показать связь строгих определений и интуитивных при определённом желании получается совсем просто. Сравните это с жутким определением непрерывности по Борелю.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1144257 писал(а):

Оно базируется на интуитивно ясном понятии точки прикосновения.

Не взлетит. Точку прикосновения нельзя определить, пока не определена окрестность, а значит, открытое множество. У Куратовского все начинается не с точки прикосновения, а сразу с замыкания как функции от множества с неизвестно откуда взявшимися свойствами. Является ли понятие замыкания без объяснения того, что это множество всех точек прикосновения (а это нельзя объяснить, пока они не определены), интуитивно ясным - тот еще вопрос. По-моему, нет. Куратовский для его прояснения отсылает к $\mathbb{R}^n$, но с тем же успехом можно так прояснить и понятие открытого множества. Видимо, подход Колмогорова-Фомина с точки зрения интуитивной ясности все же лучше.

Вообще, контринтуитивность - это действительно проблема. Студенты непрерывно распределены между двумя полюсами: полюс $K$ - конкретность: "объясните мне на частных случаях, откуда и зачем это все, или я вообще это учить не буду" и полюс $O$ - общность: "дайте мне сразу самый общий и современный аппарат и не морочьте голову переопределениями и передоказательствами". Лично я сильно тяготею к полюсу $O$, и поэтому натуральным образом злился, когда оказывалось, что все эти ваши первая и вторая теорема Вейерштрасса, свойства открытого множества в метрическом пространстве и т.д. есть всего лишь частные случаи и теперь надо доказывать общие (а зачем я на них время тратил тогда?). Но сдается мне, что большинство студентов кучкуется около полюса $K$, и составители программ обязаны это учитывать.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1144266 писал(а):

Не взлетит. Точку прикосновения нельзя определить, пока не определена окрестность, а значит, открытое множество.

Определение: говорят, что на множестве $X$ определена топология, если для каждого множества $M\subset X$ указано, какие точки $x\in X$ являются точками прикосновения множества $X$, так чтобы выполнялись аксиомы: 1, 2, 3, 4, - где под $\overline M$ понимается множество всех точек прикосновения множества $M$, называемое также замыканием.

Anton_Peplov в сообщении #1144266 писал(а):

Является ли понятие замыкания без прояснения того, что это множество всех точек прикосновения (а это нельзя прояснить, пока они не определены), интуитивно ясным - тот еще вопрос. По-моему, нет.

Не является. Поэтому и надо вводить точки прикосновения и замыкания одновременно, с указанием что замыкание это множество точек прикосновения. (Точно так же как в наивной теории множеств в самом-самом начале говорится что-то вроде: $M$ есть множество, если для каждого элемента $x$ справедливо либо $x\in M$, либо $x\notin M$ - то есть понятия множества, элемента и отношения включения вводятся одновременно в одном предложении. Может, пример и неудачный - не настаиваю.)

Не нравится такой подход и хочется позанудствовать (хотя и абсолютно зря) - не используйте слово замыкание, скажите что верхнее подчёркивание означает множество точек прикосновения. И уж потом скажите, что это замыкание. Понятно, что аксиомы для точек прикосновения могут содержать в себе такую вещь, как множество точек прикосновения.

----------

Anton_Peplov в сообщении #1144266 писал(а):

Видимо, подход Колмогорова-Фомина с точки зрения интуитивной ясности все же лучше.

Я не представляю, каким образом кому-то он может представляться лучше с интуитивной точки зрения. Мне это кажется нонсенсом. Я больше скажу: пока я, будучи студентом, не увидел это определение у Куратовского, я долго предпринимал собственные попытки определить топологию по-нормальному (пытался построить определение на основе понятия связного множества, а не открытого - даже что-то получалось, но не совсем удовлетворительно). Потому что традиционное определение топологии меня напрочь не устраивало.

Заметьте ещё, что здесь не только в самом определении топологии преимущество. Но и в том, что на его основе получаются значительно более внятные определения связности и непрерывности, да и понятия открытого и замкнутого множества тоже вводятся легко и естественно.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1144274 писал(а):

Определение: говорят, что на множестве $X$ определена топология, если для каждого множества $M\subset X$ указано, какие точки $x\in X$ являются точками прикосновения множества $X$, так чтобы выполнялись аксиомы: 1, 2, 3, 4, - где под $\overline M$ понимается множество всех точек прикосновения множества $M$, называемое также замыканием.

Тут фактически сначала определяется замыкание как функция от множества (так же, как у Куратовского), а потом заявляется, что точки замыкания называются точками прикосновения. В чем тут большая интуитивная ясность определения открытого множества, не вижу. Наверное, у нас с Вами по-разному устроена интуиция.
А вот определение непрерывной функции как функции, сохраняющей отношение прикосновения, мне понравилось.

[Mikhail_K]

Да в конце концов, пусть будут такие аксиомы для точек прикосновения:
1) $x$ есть точка прикосновения множества $M\cup N$ тогда и только тогда, когда $x$ есть точка прикосновения множества $M$ либо множества $N$;
2) любая точка множества $M$ есть точка прикосновения множества $M$;
3) если $x$ есть точка прикосновения к множеству точек прикосновения множества $M$, то $x$ есть точка прикосновения множества $M$;
4) у пустого множества нет точек прикосновения.
То есть логически тут всё нормально, всё взлетит, просто с чёрточками короче и красивее выглядит.
Ещё раз: фундаментальным предлагаю считать понятие отношения прикосновения между точкой и множеством, аксиомы для этого отношения см. выше, но лучше и удобнее (хотя и не обязательно) записать их в терминах множества точек прикосновения, обозначаемого верхним подчёркиванием и называемого замыканием.

[arseniiv]

Раз уж о вкусах не спорят, а как вам определения с использованием окрестностей (этот подход в обсуждении по ссылке kp9r4d тоже упомянут)?