Иррациональные числа и неоднозначность определений

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

Я то причем?!Вы читайте медленно,а потом выговаривайте,тем кто по вашему правильному мнению, так неправильно думает..

Именно так я и делаю. Сначала я м-е-д-л-е-н-н-о прочёл очередную сделанную Вами подмену объектов:

ZVS писал(а):

По поводу прозвучавшего мнения, как сечение или последовательность рациональных чисел, именно определяет действительное число...

и далее:

ZVS писал(а):

Соотношение между последовательностями приближений,определяющими число, и самими числами примерно такое же,как между точкой на карте, и указкой которая указывает нам эту точку."

- нигде ранее никто из оппонентов не писал про последовательности приближений, писали про фундаментальные последовательности рациональных чисел, если же я сейчас изрек ложь, то прошу указать опровергающую меня ссылку. Далее, опираясь на эту подмену, Вы стали вырывать такие фразы из Зорича, которые вне полного его текста выглядят непонятно. Кому же другому Вы предлагаете все это выговаривать?

[MaximKat]

ZVS писал(а):

А сам Дедекинд знает о таком варианте его определения?Что то я не пойму из него, что же есть множество иррациональных чисел.

Множество иррациональных чисел - это множество действительных чисел минус множество рациональных чисел и это определение ни к сечениям ни к фундаментальным последовательностям отношения не имеет. Но это так, между прочим.
Теперь к определениям. Я сейчас все по порядку расскажу, а Вы читайте медленно и если что-то будет неясно - спрашивайте. Формулы писать не буду, они все есть в википедии. Надеюсь, что в случае ошибок меня поправят "старшие товарищи"
Действительные числа - это некие абстрактные объекты, которые задаются аксиоматически. Список аксиом есть по ссылке выше. Если коротко, то действительные числа образуют упорядоченное поле с дополнительной аксиомой Дедекинда. Вот именно это и ничто иное является общепринятым определением действительного числа.
Более того, можно показать, что любые две модели удовлетворяющие всем аксиомам - изоморфны, т.е. фактически одинаковы с точки зрения введеных операций.
Математики построили множество разных моделей по этим аксиомам, в том числе сечения Дедекинда, последовательности Коши, задание числа десятичной записью итд. Все эти модели удовлетворяют аксиоматике действительных чисел и изоморфны между собой.

Вывод:
Множество действительных чисел - это упорядоченное поле, удовлетворяющее аксиоме полноты Дедекинда.

ZVS писал(а):

что же есть множество иррациональных чисел.

Это множество действительных чисел за вычетом того, что в нашей аксиоматике соответствует рациональным числам (0 и 1 заданы аксиомами поля, дальше строим натуральные, целые, рациональные обычным способом)

ZVS писал(а):

А сам Дедекинд знает о таком варианте его определения?

Это не определение. Это одна из возможных конструкций такого поля.

[Brukvalub]

MaximKat писал(а):

Вывод:
ZVS писал(а):
что же есть множество иррациональных чисел.
Упорядоченное поле, удовлетворяющее аксиоме полноты Дедекинда

Не знаю, старше я Вас, или моложе, но поправлю. На вопрос ZVS о иррациональных числах Вы ответили выше:

MaximKat писал(а):

Множество иррациональных чисел - это множество действительных чисел минус множество рациональных чисел

, а сейчас Вы говорите о действительных числах.

[MaximKat]

Ой, точно. Исправил.
("старшие" в кавычках, потому что имелся ввиду не возраст, а знания )

[ZVS]

Brukvalub писал(а):

ZVS писал(а):

Соотношение между последовательностями приближений,определяющими число, и самими числами примерно такое же,как между точкой на карте, и указкой которая указывает нам эту точку."

- нигде ранее никто из оппонентов не писал про последовательности приближений, писали про фундаментальные последовательности рациональных чисел, если же я сейчас изрек ложь, то прошу указать опровергающую меня ссылку. Далее, опираясь на эту подмену, Вы стали вырывать такие фразы из Зорича, которые вне полного его текста выглядят непонятно. Кому же другому Вы предлагаете все это выговаривать?

Один из нас чего то не понимает.
Вроде как:
"любое действительное число является пределом фундаментальной последовательности рациональных чисел и любая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу".(С)
Про такую последовательность мои оппоненты тут высказывались?Пусть предьявят!
Или опять не то?
А Зорич что то другое имел в виду?
Так это что,вообще совершенно разные последовательности, по разному определяющие, может быть даже разные действительные числа?!

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

Вроде как:
"любое действительное число является пределом фундаментальной последовательности рациональных чисел и любая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу".(С)
Про такую последовательность мои оппоненты тут высказывались?Пусть предьявят!

ZVS писал(а):

Или опять не то?

Да, опять - не то. Почитайте, только очень м-е-д-л-е-н-н-о, сообщение MaximKat (оно - второе на этой странице) - в нем все про аксиоматику и про модели действительных чисел хорошо разъяснено.

[MaximKat]

Может быть прочитаете то что я написал для начала? Для кого я старался? В пространстве рациональных чисел фундаментальные последовательности ни к чему не сходятся (некоторые конечно сходятся, но не все). Потому что оно не полное. А когда мы производим пополнение, то мы получаем совершенно другое пространство, хотя некоторое его подпространство действительно изоморфно рациональным чилсам. Но действительные числа - это не предел последовательности рациональных. В данной модели действительные числа - это именно эта последовательность. Так же как в модели Дедекинда - действительные числа это сечения.

[AD]

ZVS писал(а):

"любое действительное число является пределом фундаментальной последовательности рациональных чисел и любая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу"

Ну и? Утверждение верное. Только какое отношение оно имеет к теме? Здесь не утверждается, что к каждому числу сходится только одна последовательность рациональных чисел; это и неверно.

ZVS писал(а):

Так это что,вообще совершенно разные последовательности, по разному определяющие, может быть даже разные действительные числа?!

"Это" - это вы про что?

ZVS писал(а):

Про такую последовательность мои оппоненты тут высказывались?Пусть предьявят!

Что? Вы не можете привести пример последовательности? Фундаментальной последовательности?

Добавлено спустя 56 секунд:

ZVS писал(а):

Один из нас чего то не понимает.

+1. Из нас тоже.

[ZVS]

Так.Однако вижу, что отойдя на заранее подготовленные позиции, оппонентыпочувствовали себя гораздо увереннее. Можно сделать вывод, что метод Дедекинда по определению иррациональных чисел,молчаливо признан бесперспективным для реабилитации?Тогда надо закрывать топик,однако.Впрочем,я подумаю.
Что касается фундаментальных последовательностей,тут я как то специально не разбирался на предмет неоднозначности определений.
Позвольте тайм-аут..
P.S.Что бы немного пояснить, какие проблемы я считаю интересными для обсуждения:
http://sfkm.nm.ru/mat.htm

[MaximKat]

Ну знаете ли... Вся последняя страница порождена Вашим непониманием определения действительного числа, которое проявилось во фразе

ZVS писал(а):

А сам Дедекинд знает о таком варианте его определения?Что то я не пойму из него, что же есть множество иррациональных чисел.

Если против того, что написано в моем посте Вам понятно и возражений не вызывает, то вернемся к Дедекинду. Я на предыдущей странице привел пример "одновременно" существующих сечений для $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Что именно Вас тут не устраивает?

Добавлено спустя 9 минут 14 секунд:

ZVS писал(а):

P.S.Что бы немного пояснить, какие проблемы я считаю интересными для обсуждения:
http://sfkm.nm.ru/mat.htm

Много там такого что можно прокомментировать, но не буду ибо оффтопик да и затеваться не особо хочется. Если есть желание обсудить - создайте отдельную тему, поговорим...

[AD]

ZVS писал(а):

Можно сделать вывод, что метод Дедекинда по определению иррациональных чисел,молчаливо признан бесперспективным для реабилитации?

Кто вам сказал такую глупость?

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

Так.Однако вижу, что отойдя на заранее подготовленные позиции, оппонентыпочувствовали себя гораздо увереннее.

Это только Вам кажется, что в сечениях Дедекинда мы "плаваем". Это Вы в них "плаваете". Ни одного разумного возражения с Вашей стороны против сечений я не увидел. Так что никто никуда не отходил, более того, довольный одержанной победой, Остап запел: "И враг бежит, бежит, бежит..."

[незваный гость]

Я повторю то, что Вам пытаются объяснить, своими словами:

1) Множество вещественных чисел (иногда называемых действительными) обычно определяется аксиоматически.

MaximKat писал(а):

Множество действительных чисел - это упорядоченное поле, удовлетворяющее аксиоме полноты Дедекинда.

И это всё, что нужно для построения вещественного анализа и всего последующего здания математики.

2) При этом подходе существует проблема: откуда известно, что существует хотя бы одно такое поле? Этот вопрос относится уже не к матану, а к основаниям математики. Там строятся модели: из множеств выбираются некоторые, про которые говорят, что они натуральные (плюс ноль) числа. В дальнейшем из натуральных чисел строят целые, из целых — рациональные. Приятно то, что сделав построение и проверив выполнение на нём желательных аксиом, мы можем забыть о том, как мы строили — абстрагироваться от структуры модели.

3) Последний для нас (но не вообще) шаг — это построение вещественных чисел. Т.е., у нас есть рациональные числа, и нам надо доказать существования упорядоченного архимедова поля. Для этого существет несколько известных моделей: сечения Дедекинда, классы фундаментальных последовательностей. Что бы мы не делали, мы строим некоторые множества (множества множеств…) рациональных чисел, и утверждаем, что мы можем называть такой объект вещественным числом, ибо для совокупности этих объектов выполняются все аксиомы вещественных чисел.

4) После того, как модель построена, мы доказали, что вещественные числа существуют. Всё, забыли про модель и живём по аксиомам.

Итого: все построения вещ.чисел не относятся к матану, а относятся к основаниям математики.

[ZVS]

Недолго музыка играла,недолго Бендер танцевал.
Вернемся к нашим баранам.
Ввиду очевидной тривиальности ,никто прямо не смог внятно, без ссылок на то, что его учили по другому,и что проблемы нет и всё,обьяснить сосуществование, однозначно определяемые в единственном числе, элементов.
Ещё проще уже боюсь, но попробую.
Вот есть некоторое множество, которое разбиваем на два по некоторому признаку,и соответственно имеем две части множества и границу между ними.В тот же момент времени разбиваем еще раз, это же множество на две другие части по другому признаку и получаем что?Вот я вижу, что получается три множества и две границы между ними, на рассматриваемом нами первоначально множестве..Давайте, если есть желание, сначала определимся с данным разбиением.Это возможное разбиение или невозможное? А если возможное,единственный вариант или нет?
P.S.А с определением через фундаментальные последовательности, как единственно верным учением для действительных чисел, мы еще обязательно разберемся.

Добавлено спустя 4 минуты 28 секунд:

Тут многое из мне адресованного,конечно верно.Но прошу еще раз, давайте в рамках темы.

[RIP]

Сразу скажу, что всё написанное ниже - исключительно моё мнение.

ZVS писал(а):

Ввиду очевидной тривиальности ,никто прямо не смог внятно, без ссылок на то, что его учили по другому,и что проблемы нет и всё,обьяснить сосуществование, однозначно определяемые в единственном числе, элементов.

Потому что нельзя это объяснить. Большинство нормальных людей, и математики в том числе, в своих рассуждениях полагается на так называемый "здравый смысл", который в данном случае подсказывает, что "проблемы нет и всё" (хотя проблема, конечно, есть ). Вопрос о том, существует ли что-либо по отдельности или одновременно, относится к философии.

ZVS писал(а):

А с определением через фундаментальные последовательности, как единственно верным учением для действительных чисел, мы еще обязательно разберемся.

Никто и не утверждал, что это учение единственно верное. Более того, действительные числа обычно определяют не через фундаментальные последовательности, а аксиоматически. Вы хотя бы читаете, что Вам пишут Ваши оппоненты?

Добавлено спустя 51 минуту 59 секунд:

ZVS писал(а):

Вот есть некоторое множество, которое разбиваем на два по некоторому признаку,и соответственно имеем две части множества и границу между ними.В тот же момент времени разбиваем еще раз, это же множество на две другие части по другому признаку и получаем что?Вот я вижу, что получается три множества и две границы между ними, на рассматриваемом нами первоначально множестве..Давайте, если есть желание, сначала определимся с данным разбиением.Это возможное разбиение или невозможное? А если возможное,единственный вариант или нет?

А какое отношение это имеет к дедекиндовым сечениям? В определении сечения никто (кроме разве что Вас) не разбивает никакого множества на две части. Сечение - это пара множеств, которые удовлетворяют определённым свойствам.