Устойчивость решения диф. уравнения.

[NL0]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей. Очень не уверен насчет устойчивости.

Решить уравнение $2y'+y-10=0$ при условии $y(0)=25$ и проверить решение на устойчивость.

1)

$2dy=(10-y)dx$,

$\dfrac{2dy}{10-y}=dx$,

$-2\ln|10-y|=x-2\ln C$,

$y=e^{-0,5x+\ln C}$

$y=10+Ce^{0,5x}$

$y(0)=25=10+C$

$C=15$.

$y=10+15e^{-0,5x}$

Проверим на устойчивость:

Ясно, что $\varphi(x)=10$ является решением исходного уравнения.

$||y(0)-\varphi(0)||=||25-10||=15<\delta$.

Далее, нужно проверить, чтобы для $\forall x>0$ выполнялось неравенство ||y(x)-\varphi(x)||<\epsilon$

$||10+15e^{-0,5x}-10||=||15e^{-0,5x}||<\epsilon$

Получается, что для любого положительного эпсилон можно взять $\delta=16$, тогда получается решение устойчиво.

Проверим асимптотическую устойчивость.

$\displaystyle\lim_{x\to \infty} \left|15e^{-0,5x}\right|=0$, потому решение асимптотически устойчиво.

[alcoholist]

NL0 в сообщении #1168937 писал(а):

Проверим на устойчивость:

Ясно, что $\varphi(x)=10$ является решением исходного уравнения.

Вы берете некоторое решение. Но ведь легко видеть, что если $|y(0)-\varphi(0)|\le\delta$, то $|y(x)-\varphi(x)|\le \delta e^{-\frac{x}{2}}\le \delta$. То есть в определении устойчивости при $x\ge 0$ можно взять $\delta(\varepsilon)=\varepsilon$.

[Brukvalub]

NL0 в сообщении #1168937 писал(а):

$-2\ln|10-y|=x-2\ln C$,

$y=e^{-0,5x+\ln C}$

Ошибочный переход.

[alcoholist]

Brukvalub в сообщении #1169911 писал(а):

Ошибочный переход.

Опечатка. В следующей строчке он исправился, но забыл знак в показателе.
Итоговый ответ

NL0 в сообщении #1168937 писал(а):

$y=10+15e^{-0,5x}$

верен.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #1170014 писал(а):

Опечатка. В следующей строчке он исправился, но забыл знак в показателе.

Учебные упражнения всегда проверяю до первой ошибки. Дальше аффтар должен разбираться сам, что там у него: ошибки, очепятки, или еще что...