2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Устойчивость решения диф. уравнения.
Сообщение14.11.2016, 13:05 
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей. Очень не уверен насчет устойчивости.

Решить уравнение $2y'+y-10=0$ при условии $y(0)=25$ и проверить решение на устойчивость.

1)

$2dy=(10-y)dx$,

$\dfrac{2dy}{10-y}=dx$,

$-2\ln|10-y|=x-2\ln C$,

$y=e^{-0,5x+\ln C}$

$y=10+Ce^{0,5x}$

$y(0)=25=10+C$

$C=15$.

$y=10+15e^{-0,5x}$

Проверим на устойчивость:

Ясно, что $\varphi(x)=10$ является решением исходного уравнения.

$||y(0)-\varphi(0)||=||25-10||=15<\delta$.

Далее, нужно проверить, чтобы для $\forall x>0$ выполнялось неравенство ||y(x)-\varphi(x)||<\epsilon$

$||10+15e^{-0,5x}-10||=||15e^{-0,5x}||<\epsilon$

Получается, что для любого положительного эпсилон можно взять $\delta=16$, тогда получается решение устойчиво.

Проверим асимптотическую устойчивость.

$\displaystyle\lim_{x\to \infty} \left|15e^{-0,5x}\right|=0$, потому решение асимптотически устойчиво.

 
 
 
 Re: Устойчивость решения диф. уравнения.
Сообщение18.11.2016, 18:17 
Аватара пользователя
NL0 в сообщении #1168937 писал(а):
Проверим на устойчивость:

Ясно, что $\varphi(x)=10$ является решением исходного уравнения.


Вы берете некоторое решение. Но ведь легко видеть, что если $|y(0)-\varphi(0)|\le\delta$, то $|y(x)-\varphi(x)|\le \delta e^{-\frac{x}{2}}\le \delta$. То есть в определении устойчивости при $x\ge 0$ можно взять $\delta(\varepsilon)=\varepsilon$.

 
 
 
 Re: Устойчивость решения диф. уравнения.
Сообщение18.11.2016, 18:45 
Аватара пользователя
NL0 в сообщении #1168937 писал(а):
$-2\ln|10-y|=x-2\ln C$,

$y=e^{-0,5x+\ln C}$

Ошибочный переход.

 
 
 
 Re: Устойчивость решения диф. уравнения.
Сообщение19.11.2016, 08:16 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1169911 писал(а):
Ошибочный переход.

Опечатка. В следующей строчке он исправился, но забыл знак в показателе.
Итоговый ответ
NL0 в сообщении #1168937 писал(а):
$y=10+15e^{-0,5x}$

верен.

 
 
 
 Re: Устойчивость решения диф. уравнения.
Сообщение19.11.2016, 09:28 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #1170014 писал(а):
Опечатка. В следующей строчке он исправился, но забыл знак в показателе.

Учебные упражнения всегда проверяю до первой ошибки. Дальше аффтар должен разбираться сам, что там у него: ошибки, очепятки, или еще что...

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group