Задача о последовательности полиномов

[Asalex]

Уважаемые форумчане,
есть такая задача:

Найти семейство полиномов $P_k(l,m,n),\ k=0,1,2,...$ симметричных относительно $l,m,n$, удовлетворяющих следующим условиям:
При $k=0$ $P_0(l,m,n)=1.$
При $k>0$ полином $P_k(l,m,n)$ связан с предыдущими полиномами следующими условиями:

$$P_k(k-1,m,n)=(m-n)^2P_{k-1}(k,m,n),$$

$$P_k(k-2,m,n)=((m-n)^2-1)^2P_{k-2}(k,m,n),$$

$$P_k(k-3,m,n)=((m-n)^2-4)^2(m-n)^2P_{k-3}(k,m,n),$$

$$P_k(k-4,m,n)=((m-n)^2-9)^2((m-n)^2-1)^2P_{k-4}(k,m,n),$$

...

$$P_k(1,m,n)=((m-n)^2-(k-2)^2)^2((m-n)^2-(k-4)^2)^2...P_1(k,m,n),$$

$$P_k(0,m,n)=((m-n)^2-(k-1)^2)^2((m-n)^2-(k-3)^2)^2...P_0(k,m,n).$$

Найти $P_k(l,m,n).$

[kotenok gav]

Asalex в сообщении #1166913 писал(а):

Найти семейство полиномов $P_k(l,m,n),\ k=0,1,2,...$ симметричных относительно $l,m,n$, удовлетворяющих следующим условиям:
При $k=0$ $P_0(l,m,n)=1.$
При $k>0$ полином $P_k(l,m,n)$ связан с предыдущими полиномами следующими условиями:

$$P_k(k-1,m,n)=(m-n)^2P_{k-1}(k,m,n),$$

$$P_k(k-2,m,n)=((m-n)^2-1)^2P_{k-2}(k,m,n),$$

$$P_k(k-3,m,n)=((m-n)^2-4)^2(m-n)^2P_{k-3}(k,m,n),$$

$$P_k(k-4,m,n)=((m-n)^2-9)^2((m-n)^2-1)^2P_{k-4}(k,m,n),$$

...

$$P_k(1,m,n)=((m-n)^2-(k-2)^2)^2((m-n)^2-(k-4)^2)^2...P_1(k,m,n),$$

$$P_k(0,m,n)=((m-n)^2-(k-1)^2)^2((m-n)^2-(k-3)^2)^2...P_0(k,m,n).$$

Найти $P_k(l,m,n).$

Из приведеных свойств следует:

$$P_k(l,m,n)=((m-n)^2-(k-l-1)^2)^2((m-n)^2-(k-l-3)^2)^2...P_l(k,m,n)$$

$$P_l(k,m,n)=((m-n)^2-(l-k-1)^2)^2((m-n)^2-(l-k-3)^2)^2...P_k(l,m,n)$$

Продолжение потом.

[bot]

(Оффтоп)

kotenok gav, Я пока знаю всего пару причин, которые могут побудить полное цитирование предыдущего сообщения:
1. Есть подозрение, что автор сообщения оставит Вас в дураках, отредактировав его.
2. Сообщение вместе с Вашим ответом предположительно достойно помещения в цитатник, но самому Вам это сделать стеснительно - вот Вы и облегчаете труды тому, кто его туда скопирует.

Если Вы имеете третью причину, не сочтите за труд сообщить.

[kotenok gav]

(Оффтоп)

bot
Третья причина: Я пишу на телефоне и поэтому мне очень трудно писать формулы в теге math и поэтому я скопировал сообщение, и чуть изменил формулы.
P. S. Похоже в девятой строке сообщения ТС последняя вторая степень на самом деле четвертая.

[bot]

(Оффтоп)

Использование цитаты в качестве шаблона - обычный приём. А телефон не дозволяет удалить цитату после использования?

[Asalex]

kotenok gav в сообщении #1169183 писал(а):

(Оффтоп)

bot
P. S. Похоже в девятой строке сообщения ТС последняя вторая степень на самом деле четвертая.

Где должна быть четвертая степень? И что такое ТС?:)
В том что написано вроде все верно.

[Dan B-Yallay]

Asalex в сообщении #1169732 писал(а):

И что такое ТС?:)

(Т)опик (С)тартер

[kotenok gav]

Asalex в сообщении #1169732 писал(а):

В том что написано вроде все верно.

Ну тогда обьясните что идёт вместо многоточий в ваших последних двух формулах.

[Asalex]

kotenok gav в сообщении #1169810 писал(а):

Ну тогда обьясните что идёт вместо многоточий в ваших последних двух формулах.

Те соотношения можно в таком виде переписать (тогда не возникает лишних сложностей с тем, участвует ли в произведении множитель $(m-n)^2$ или нет):

$$P_k(k-1,m,n)=(m-n)^2P_{k-1}(k,m,n),$$

$$P_k(k-2,m,n)=(m-n-1)^2 (m-n+1)^2 P_{k-2}(k,m,n),$$

$$P_k(k-3,m,n)=(m-n-2)^2(m-n)^2 (m-n+2)^2 P_{k-3}(k,m,n),$$

$$P_k(k-4,m,n)=(m-n-3)^2(m-n-1)^2(m-n+1)^2(m-n+3)^2P_{k-4}(k,m,n),$$

...

$$P_k(1,m,n)=(m-n-k+2)^2 (m-n-k+4)^2... (m-n+k-4)^2(m-n+k-2)^2P_1(k,m,n),$$

$$P_k(0,m,n)=(m-n-k+1)^2 (m-n-k+3)^2 ... (m-n+k-3)^2 (m-n+k-1)^2 P_0(k,m,n).$$

Или, другими словами, для $j=0,1,2,..., k-1$

$$P_k(j,m,n)=(m-n-k+j+1)^2(m-n-k+j+3)^2...(m-n+k-j-3)^2(m-n+k-j-1)^2P_j(k,m,n) = $$ $$=\sum\limits_{l=0}^{k-j-1}(m-n-k+j+1+2l)^2 \quad P_j(k,m,n),$$

[kotenok gav]

Вы уверены что знак суммы? Случайно не произведение?
Решение задачи напишу за компьютером.

[Asalex]

Извиняюсь, да , знак произведения. Уже не могу поправить там формулу. Должно быть так:
для $j=0,1,2,..., k-1$

$$P_k(j,m,n)=(m-n-k+j+1)^2(m-n-k+j+3)^2...(m-n+k-j-3)^2(m-n+k-j-1)^2P_j(k,m,n) = $$ $$=\prod\limits_{l=0}^{k-j-1}(m-n-k+j+1+2l)^2 \quad P_j(k,m,n),$$

[Asalex]

kotenok gav в сообщении #1170224 писал(а):

Решение задачи напишу за компьютером.

Есть какие-то успехи с решением?)