нильпотентные элементы

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить и доказать:
1)что кольцо

\[Z_m = Z/mZ\]

содержит нильпотентные элементы в том и только том случае, если

\[m\]

делится на квадрат натурального числа, большего единицы;
2)что множество нильпотентных элементов коммутативного кольца образует подкольцо. Привести опровергающий пример в некоммутативном случае.

[arqady]

Пример такой:
Пусть

$$a=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 \\-1 & -1 \end{array}\right)\] $$

и

$$b=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 \\1 & -1 \end{array}\right)\] $$

Тогда

$$a$$

и

$$b$$

нильпотентны, а

$$ab$$

нет.

[Brukvalub]

arqady писал(а):

Пример такой:
Пусть

$$a=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 \\-1 & -1 \end{array}\right)\] $$

и

$$b=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 \\1 & -1 \end{array}\right)\] $$

Тогда

$$a$$

и

$$b$$

нильпотентны, а

$$ab$$

нет. Wink

Вот только образуют ли матрицы коммутативное кольцо?

[arqady]

Brukvalub писал(а):

arqady писал(а):

Пример такой:
Пусть

$$a=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 \\-1 & -1 \end{array}\right)\] $$

и

$$b=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 \\1 & -1 \end{array}\right)\] $$

Тогда

$$a$$

и

$$b$$

нильпотентны, а

$$ab$$

нет. Wink

Вот только образуют ли матрицы коммутативное кольцо?

Вот-вот! Просили же контр-поимер!

[RIP]

По-моему, пример $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},A+B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ попроще будет .

Добавлено спустя 3 минуты 6 секунд:

ShMaxG
Всё доказывается по определению, напишите, что Вы пробовали сделать.

[arqady]

RIP писал(а):

По-моему, пример $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},A+B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ попроще будет .

Cогласен, но с умножением интереснее.

[ShMaxG]

А, кажется с 2) разобрался. Но 1) не знаю даже как начинать.

[RIP]

ShMaxG писал(а):

Но 1) не знаю даже как начинать

Для начала разложите $m$ в произведение простых. Попробуйте сначала доказать справа налево: это должно быть попроще.

P.S. Вообще-то, в любом кольце существует нильпотентный элемент.

[Профессор Снэйп]

А нильпотентный элемент --- это который в какой-то конечной степени равен нулю?

Если да, то первая задача тривиальна. И, кстати, гораздо легче второй Я бы посоветовал разложить $m$ в произведение простых, но RIP уже опередил меня с этим советом.

[ShMaxG]

доказалось, спасибо)

P.S. что бы я без вас делал...