2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 нильпотентные элементы
Сообщение03.05.2008, 20:52 
Аватара пользователя
Помогите пожалуйста решить и доказать:
1)что кольцо \[Z_m  = Z/mZ\] содержит нильпотентные элементы в том и только том случае, если \[m\] делится на квадрат натурального числа, большего единицы;
2)что множество нильпотентных элементов коммутативного кольца образует подкольцо. Привести опровергающий пример в некоммутативном случае.

 
 
 
 
Сообщение03.05.2008, 22:30 
Пример такой:
Пусть $$a=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 \\-1 & -1  \end{array}\right)\] $$ и $$b=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 \\1 & -1  \end{array}\right)\] $$
Тогда $$a$$ и $$b$$ нильпотентны, а $$ab$$ нет. :wink:

 
 
 
 
Сообщение03.05.2008, 22:36 
Аватара пользователя
arqady писал(а):
Пример такой:
Пусть $$a=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 \\-1 & -1 \end{array}\right)\] $$ и $$b=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 \\1 & -1 \end{array}\right)\] $$
Тогда $$a$$ и $$b$$ нильпотентны, а $$ab$$ нет. Wink
Вот только образуют ли матрицы коммутативное кольцо?

 
 
 
 
Сообщение03.05.2008, 22:40 
Brukvalub писал(а):
arqady писал(а):
Пример такой:
Пусть $$a=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 \\-1 & -1 \end{array}\right)\] $$ и $$b=\[\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 \\1 & -1 \end{array}\right)\] $$
Тогда $$a$$ и $$b$$ нильпотентны, а $$ab$$ нет. Wink
Вот только образуют ли матрицы коммутативное кольцо?

Вот-вот! Просили же контр-поимер!

 
 
 
 
Сообщение03.05.2008, 23:12 
Аватара пользователя
По-моему, пример $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},A+B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ попроще будет :).

Добавлено спустя 3 минуты 6 секунд:

ShMaxG
Всё доказывается по определению, напишите, что Вы пробовали сделать.

 
 
 
 
Сообщение03.05.2008, 23:27 
RIP писал(а):
По-моему, пример $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},A+B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ попроще будет :).

Cогласен, но с умножением интереснее. :D

 
 
 
 
Сообщение03.05.2008, 23:53 
Аватара пользователя
А, кажется с 2) разобрался. Но 1) не знаю даже как начинать.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 00:05 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Но 1) не знаю даже как начинать

Для начала разложите $m$ в произведение простых. Попробуйте сначала доказать справа налево: это должно быть попроще.

P.S. Вообще-то, в любом кольце существует нильпотентный элемент. :wink:

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 07:01 
Аватара пользователя
А нильпотентный элемент --- это который в какой-то конечной степени равен нулю?

Если да, то первая задача тривиальна. И, кстати, гораздо легче второй :) Я бы посоветовал разложить $m$ в произведение простых, но RIP уже опередил меня с этим советом.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2008, 12:22 
Аватара пользователя
доказалось, спасибо)

P.S. что бы я без вас делал...

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group