Уравнение с частными производными второго порядка

[Vanya415]

Пытался решить уравнение методом характеристик.
$2\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+5\frac{\partial U^2}{\partial x \partial y}-3\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}+4\frac{\partial U}{\partial x}=0$

Получилось вот такое уравнение
$49\frac{\partial^2 U}{\partial \xi \partial \eta}+6\frac{\partial U}{\partial \xi}-\frac{\partial U}{\partial \eta}=0$

Как его дальше довести до решения?
Если использовать подстановку с экспонентой
$U(\xi,\eta)=V(\xi,\eta)\exp(p\xi+q\eta)$ с дальнейшим обнулением коэффициентов перед первыми производными,
то получается уравнение вида
$A\frac{\partial^2V}{\partial \xi \partial \eta} + BV = 0$
которое опять не понятно как решать дальше. В книгах не нашёл.

[Munin]

Vanya415 в сообщении #1169281 писал(а):

Есть какие-нибудь методы решения такого уравнения?

Угу.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Red_Herring]

Читайте про функцию Римана и задачу Гурса в Википедии

[Markiyan Hirnyk]

Ответ, полученный с применением Мэйпла:

$$U \left( x,y \right) ={{\it \_C_1}\,{\it \_C_2} \left( {{\rm e}^{{\frac {{{\it \_c}_{{1}}}^{2} \left( x/2+y \right) }{24+49\,{\it \_c}_{{1}}}} }} \right) ^{49} \left( {{\rm e}^{{\frac {{\it \_c}_{{1}} \left( x/2+y \right) }{24+49\,{\it \_c}_{{1}}}}}} \right) ^{24} \left( {{\rm e}^{{ \frac {{\it \_c}_{{1}} \left( 6/7\,x-2/7\,y \right) }{24+49\,{\it \_c} _{{1}}}}}} \right) ^{-14}} $$

[Утундрий]

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1169549 писал(а):

Ответ, полученный с применением Мэйпла...

...ещё нужно уметь без ошибок переписать.

[Vanya415]

Да, Мэплом-то я тоже смотрел что получается, а вот как оно получается .....
Посмотрел задачу Гурса, функцию Римана, нашёл ещё метод Римана по решению уравнений такого же типа. Но! В задачи Гурса необходимо задание краевых условий, а в методе Римана начальных... В данном случае ни того ни другого нет. Может конечно можно задавать какие-то фиктивные условия...
Но тогда нужно знать как это делается.
Может кто-нибудь ещё подскажет где что посмотреть?

[Munin]

Vanya415 в сообщении #1169822 писал(а):

В данном случае ни того ни другого нет.

Тогда достаточно просто повернуть систему координат на 45°.

[Vanya415]

Ого... интересное решение. Это только идея или реально сработает? Я к тому, чтобы не изобретать велосипед несколько дней, и потом сказать, что там по тому-то и тому-то так не получается.

[Munin]

Vanya415 в сообщении #1169835 писал(а):

Это только идея или реально сработает?

Вы что, ни разу не пробовали?

Vanya415 в сообщении #1169835 писал(а):

Я к тому, чтобы не изобретать велосипед несколько дней

Ну что, вы его уже три дня как изобретаете.

-- 18.11.2016 13:02:21 --

Munin в сообщении #1169825 писал(а):

достаточно просто повернуть систему координат на 45°.

Может, после этого вы найдёте его в книгах.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1169825 писал(а):

Тогда достаточно просто повернуть систему координат на 45°.

В принципе, можно было сразу в исходном выражении сделать замену переменной. Оно чуть сложнее, но зато промежуточный этап выпадает.

Vanya415, несколько абстрактно-наводящих вопросов. Почему линейные уравнения в частных производных второго порядка бывают "эллиптическими", "гиперболическими" и "параболическими"? Была ли у Вас когда-то аналитическая геометрия, а на ней - задача о приведении уравнения кривой второго порядка к каноническому виду? Если да - не стоит ли вспомнить соответствующие навыки?

[Red_Herring]

Марк Твен в рассказе «Как я редактировал сельскохозяйственную газету» писал(а):

Потрясите вашу бабушку! Брюква не растет на дереве!

Markiyan Hirnyk Где Вы выкопали это безобразие? Немедленно закопайте!
Munin Зачем поворачивать? Задача Гурса задается в характеристических координатах.

Vanya415, После того как Вы привели уравнение к виду $U_{\xi\eta}-BU=0$, Вы решаете задачу Гурса в области $\xi>0,\eta>0$ с граничными условиями $U(0,\eta)=1, U(\xi,0)=1$, поскольку от первых производных Вы избавились и не просто решаете задачу Гурса, а ищете функцию Римана. Плохая новость: решения в "конечном виде" нет, как и сказано в статье в Википедии куда я Вас отослал. Хорошая новость: поскольку $B$ константа можно найти как

$$U(\xi,\eta)=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{(m!)^2} (-B\xi\eta)^m. $$

Теперь смотрите в той же статье, как с помощью функции Римана записать решение задачи Коши для повернутого уравнения (т.е. одномерного волнового),

[Vanya415]

Итак, вращать систему координат ещё не пробовал. Сегодня разобрал метод факторизации, но он тоже не помог.
Список книг, с которыми я ознакомился в процессе своего поиска
Смирнов Т4, ч2 Курс высшей математики
Горюнов Уравнения математической физики в примерах и задачах Ч2
Конев Уравнения в частных производных
Рогов Уравнения математической физики Сборник примеров и упражнений
Араманович Уравнения математической физики
Бицадзе Уравнения математической физики
Годунов Уравнения математической физики
Егоров Дифференциальные уравнения с частными производными
Курант Методы математической физики Т.2
Прокудин Уравнения математической физики
Тихонов Самарский (Само собой)
Фарлоу Уравнения с частными производными
Эванс Уравнения с частными производными

Конечно я не прочитал все эти книги. Посмотрел некоторые разделы. В каких-то книгах более подробно, в каких-то просто пробежал взглядом. О вращении системы координат нигде не говорилось.
Какая-то геометрия у нас была, но что проходили там сейчас даже и не вспомню...

Red_Herring
почему именно такие граничные условия? И если решения в конечном виде нет, то почему Maple даёт вполне себе нормальное решение?

[Vince Diesel]

Vanya415 в сообщении #1169281 писал(а):

Как его дальше довести до решения?

Что вы понимаете под решением? Все решения сразу, как для волнового уравнения?

А мэйпл дает какое-то частное решение.