2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение15.11.2016, 18:19 


15/11/16
12
Пытался решить уравнение методом характеристик.
$2\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+5\frac{\partial U^2}{\partial x \partial y}-3\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}+4\frac{\partial U}{\partial x}=0$

Получилось вот такое уравнение
$49\frac{\partial^2 U}{\partial \xi \partial \eta}+6\frac{\partial U}{\partial \xi}-\frac{\partial U}{\partial \eta}=0$

Как его дальше довести до решения?
Если использовать подстановку с экспонентой
$U(\xi,\eta)=V(\xi,\eta)\exp(p\xi+q\eta)$ с дальнейшим обнулением коэффициентов перед первыми производными,
то получается уравнение вида
$A\frac{\partial^2V}{\partial \xi \partial \eta} + BV = 0$
которое опять не понятно как решать дальше. В книгах не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение15.11.2016, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Vanya415 в сообщении #1169281 писал(а):
Есть какие-нибудь методы решения такого уравнения?

Угу.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.11.2016, 18:33 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.11.2016, 18:52 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение16.11.2016, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11352
Hogtown
Читайте про функцию Римана и задачу Гурса в Википедии

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение16.11.2016, 21:47 


11/07/16
825
Ответ, полученный с применением Мэйпла:
$$U \left( x,y \right) ={{\it \_C_1}\,{\it \_C_2} \left( {{\rm e}^{{\frac 
{{{\it \_c}_{{1}}}^{2} \left( x/2+y \right) }{24+49\,{\it \_c}_{{1}}}}
}} \right) ^{49} \left( {{\rm e}^{{\frac {{\it \_c}_{{1}} \left( x/2+y
 \right) }{24+49\,{\it \_c}_{{1}}}}}} \right) ^{24} \left( {{\rm e}^{{
\frac {{\it \_c}_{{1}} \left( 6/7\,x-2/7\,y \right) }{24+49\,{\it \_c}
_{{1}}}}}} \right) ^{-14}}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение16.11.2016, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1169549 писал(а):
Ответ, полученный с применением Мэйпла...

...ещё нужно уметь без ошибок переписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение18.11.2016, 12:06 


15/11/16
12
Да, Мэплом-то я тоже смотрел что получается, а вот как оно получается .....
Посмотрел задачу Гурса, функцию Римана, нашёл ещё метод Римана по решению уравнений такого же типа. Но! В задачи Гурса необходимо задание краевых условий, а в методе Римана начальных... В данном случае ни того ни другого нет. Может конечно можно задавать какие-то фиктивные условия...
Но тогда нужно знать как это делается.
Может кто-нибудь ещё подскажет где что посмотреть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение18.11.2016, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Vanya415 в сообщении #1169822 писал(а):
В данном случае ни того ни другого нет.

Тогда достаточно просто повернуть систему координат на 45°.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение18.11.2016, 12:44 


15/11/16
12
Ого... интересное решение. Это только идея или реально сработает? Я к тому, чтобы не изобретать велосипед несколько дней, и потом сказать, что там по тому-то и тому-то так не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение18.11.2016, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Vanya415 в сообщении #1169835 писал(а):
Это только идея или реально сработает?

Вы что, ни разу не пробовали?

Vanya415 в сообщении #1169835 писал(а):
Я к тому, чтобы не изобретать велосипед несколько дней

Ну что, вы его уже три дня как изобретаете.

-- 18.11.2016 13:02:21 --

Munin в сообщении #1169825 писал(а):
достаточно просто повернуть систему координат на 45°.

Может, после этого вы найдёте его в книгах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение18.11.2016, 13:48 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Munin в сообщении #1169825 писал(а):
Тогда достаточно просто повернуть систему координат на 45°.
В принципе, можно было сразу в исходном выражении сделать замену переменной. Оно чуть сложнее, но зато промежуточный этап выпадает.

Vanya415, несколько абстрактно-наводящих вопросов. Почему линейные уравнения в частных производных второго порядка бывают "эллиптическими", "гиперболическими" и "параболическими"? Была ли у Вас когда-то аналитическая геометрия, а на ней - задача о приведении уравнения кривой второго порядка к каноническому виду? Если да - не стоит ли вспомнить соответствующие навыки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение18.11.2016, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11352
Hogtown
Марк Твен в рассказе «Как я редактировал сельскохозяйственную газету» писал(а):
Потрясите вашу бабушку! Брюква не растет на дереве!

Markiyan Hirnyk Где Вы выкопали это безобразие? Немедленно закопайте!
Munin Зачем поворачивать? Задача Гурса задается в характеристических координатах.

Vanya415, После того как Вы привели уравнение к виду $U_{\xi\eta}-BU=0$, Вы решаете задачу Гурса в области $\xi>0,\eta>0$ с граничными условиями $U(0,\eta)=1, U(\xi,0)=1$, поскольку от первых производных Вы избавились и не просто решаете задачу Гурса, а ищете функцию Римана. Плохая новость: решения в "конечном виде" нет, как и сказано в статье в Википедии куда я Вас отослал. Хорошая новость: поскольку $B$ константа можно найти как
$$U(\xi,\eta)=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{(m!)^2} (-B\xi\eta)^m.
$$
Теперь смотрите в той же статье, как с помощью функции Римана записать решение задачи Коши для повернутого уравнения (т.е. одномерного волнового),

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение18.11.2016, 14:30 


15/11/16
12
Итак, вращать систему координат ещё не пробовал. Сегодня разобрал метод факторизации, но он тоже не помог.
Список книг, с которыми я ознакомился в процессе своего поиска
Смирнов Т4, ч2 Курс высшей математики
Горюнов Уравнения математической физики в примерах и задачах Ч2
Конев Уравнения в частных производных
Рогов Уравнения математической физики Сборник примеров и упражнений
Араманович Уравнения математической физики
Бицадзе Уравнения математической физики
Годунов Уравнения математической физики
Егоров Дифференциальные уравнения с частными производными
Курант Методы математической физики Т.2
Прокудин Уравнения математической физики
Тихонов Самарский (Само собой)
Фарлоу Уравнения с частными производными
Эванс Уравнения с частными производными

Конечно я не прочитал все эти книги. Посмотрел некоторые разделы. В каких-то книгах более подробно, в каких-то просто пробежал взглядом. О вращении системы координат нигде не говорилось.
Какая-то геометрия у нас была, но что проходили там сейчас даже и не вспомню...

Red_Herring
почему именно такие граничные условия? И если решения в конечном виде нет, то почему Maple даёт вполне себе нормальное решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с частными производными второго порядка
Сообщение18.11.2016, 14:46 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
Vanya415 в сообщении #1169281 писал(а):
Как его дальше довести до решения?

Что вы понимаете под решением? Все решения сразу, как для волнового уравнения?

А мэйпл дает какое-то частное решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group