\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{tikz,pgf}
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
%Первая картинка использует gnuplot, (pdflatex --shell-escapе). Она использует не calc, а вычислительные способности gnuplot.
\begin{tikzpicture}
\foreach \u in {0,.25,...,2}
\draw[blue, domain=0:2*pi,scale=1, smooth, samples=1000] plot[parametric] function { cosh(\u)* cos(t), sinh(\u)* sin(t)};
\foreach \u in {0,.1,...,2 }
\draw[red, domain=0:2 ,scale=1, smooth, samples=100] plot[parametric] function { cos(pi*\u)* cosh(t), sin(pi*\u)* sinh(t)};
\end{tikzpicture}
%Вторая картинка использует calc, обратите внимание на роль ( ) скобок для группирования и { } , которые объясняют TeX, что внутрь он соваться не должен, внутри работает calc.
\begin{tikzpicture}
\foreach \x in {0,1,...,3}
\foreach \y in {0,1,...,3}
\fill [blue] ($({1.2^(2*\x )}, {1.2^(2*\y) } )$) rectangle ($({1.2^(2*\x+1) }, {1.2^(2*\y+1) } )$) ;
\foreach \x in {1,...,3}
\foreach \y in {1,...,3}
\fill [blue] ($({1.2^(2*\x-1 )}, {1.2^(2*\y-1) } )$) rectangle ($({1.2^(2*\x) }, {1.2^(2*\y) } )$) ;
\end{tikzpicture}
% В третьей картинке вместо стандартного circle(10pt) , внутрь которого я вставить sqrt(\u) не смог, как ни старался, я использую [radius=sqrt(\u) ].
\begin{tikzpicture}
\foreach \u in {1,...,3}
\draw [blue] (1,1) circle[radius=sqrt(\u) ];
\end{tikzpicture}
\end{document}
