Интересная теорема.

[kotenok gav]

Я придумал и доказал интересную теорему:
Теорема: Сумма квадратов чисел от 1 до $10^n-1$ кончается как минимум на $n$ нулей, при $n\in ${$n|n\in \mathbb{N}, n\geq 2$}.
А вы её можете доказать?
Прошу прощение за неправильное оформление множества, не могу найти как его правильно оформить.

[StaticZero]

$$ \sum \limits_{k = 1}^{10^n - 1} k^2 = 10^n \dfrac{(10^n - 1) (2\cdot 10^n - 1)}{6}. $$

-- 14.11.2016, 07:28 --

Вот придумайте причину, почему теорема неверна. Может, имелось ввиду на $(n - 1)$ нулей заканчивается?...

[kotenok gav]

Почему теорема неверна?
И почему числитель дроби будет делиться нацело на 6?

[StaticZero]

kotenok gav в сообщении #1168851 писал(а):

Почему теорема неверна?

Непосредственной проверкой для $n = 2$ и $n = 3$ получаются числа, которые не делятся на $100$ и $1000$, соответственно. Но делятся на $10$ и $100$. Можно было бы подумать, что для $n \geqslant 4$ она точно верна, но нет: это не так.

kotenok gav в сообщении #1168851 писал(а):

И почему числитель дроби будет делиться нацело на 6?

Вот в этом как раз и заключается понимание того, почему теорема не верна.

[kotenok gav]

Я ошибся.
Я имел ввиду оканчивается как минимум на $n-1$ ноль...

[arseniiv]

(Насчёт формул)

Сами фигурные скобки вводятся как \{ и \} — это чтобы они не путались с { и }, используемыми для группировки. А вертикальную черту в записи $\{\ldots\mid\ldots\}$ обычно пишут как \mid, это добавляет небольшие пробелы вокруг неё.

Это всё если формулы внутри небольшой высоты, иначе может понадобиться управление высотой скобок и палки, и это можно делать разными способами, так что тут распространяться не буду.

[StaticZero]

kotenok gav в сообщении #1168860 писал(а):

Я имел ввиду оканчивается как минимум на $n-1$ ноль...

$$ \begin{align*} \sum \limits_{k = 1}^{10^n - 1} k^2 &= 10^n \dfrac{(10^n - 1) (2\cdot 10^n - 1)}{6} = 10^{n-1} \dfrac{10 \times (10 - 1) (10^{n - 1} + 10^{n - 2} + \ldots + 10 + 1)(2\cdot 10^n - 1)}{6} =\\ &= 15 \cdot 10^{n - 1} (2\cdot10^n - 1) (10^{n - 1} + 10^{n - 2} + \ldots + 10 + 1). \qquad \blacksquare \end{align*} $$

Множитель $10^{n - 1}$ решает все проблемы. В том числе и усиливает исходное утверждение до такого:

Сумма квадратов натуральных чисел от 1 до $10^n - 1$ заканчивается лишь $n - 1$ нулями, где $n$ — натуральное.

Подумайте, почему больше нулей появиться не может.

[kotenok gav]

Решение правильное, хотя моё было другое.

[StaticZero]

kotenok gav в сообщении #1169160 писал(а):

Решение правильное,

kotenok gav в сообщении #1169160 писал(а):

хотя моё было другое.

А давайте посмотрим. В конце концов, сей факт я бы доказывал только в лоб; какова же ваша обходная дорожка?

[kotenok gav]

Доказательство теоремы по индукции:

База индукции: $\sum\limits_{k=1}^{10^{1+1}-1}k^2$ оканчивается как минимум на один ноль: Нетрудно проверить.

Шаг индукции: Если $\sum\limits_{k=1}^{10^{(n-1)+1}-1}k^2=\sum\limits_{k=1}^{10^n-1}k^2$ оканчивается как минимум на $n-1$ нулей то $\sum\limits_{k=1}^{10^{n+1}-1}k^2$ оканчивается как минимум на $n$ нулей:

$\sum\limits_{k=1}^{10^{n+1}-1}k^2=0^2+\sum\limits_{k=1}^{10^{n+1}-1}k^2=\sum\limits_{k=0}^{10^{n+1}-1}k^2=\sum\limits_{k=0}^{10^n-1}k^2+\sum\limits_{k=10^n}^{2 \cdot 10^n-1}k^2+\sum\limits_{k=2 \cdot 10^n}^{3 \cdot 10^n-1}k^2+ \ldots + \sum\limits_{k=9 \cdot 10^n}^{10^{n+1}-1}k^2=\sum\limits_{k=0}^{10^n-1}k^2+\sum\limits_{k=0}^{10^n-1}(k+10^n)^2+\sum\limits_{k=0}^{10^n-1}(k+ 2 \cdot 10^n)^2+ \ldots +\sum\limits_{k=0}^{10^n-1}(k+ 9 \cdot 10^n)^2 \equiv 10\sum\limits_{k=0}^{10^n-1}k^2 \pmod {10}$
Следовательно, $\sum\limits_{k=1}^{10^{n+1}-1}k^2$ оканчивается как минимум на столько же нулей на сколько оканчивается $10\sum\limits_{k=0}^{10^n-1}k^2$.
Следовательно, $\sum\limits_{k=1}^{10^{n+1}-1}k^2$ оканчивается как минимум на $n$ нулей.
Ч.Т.Д. $\blacksquare$

[StaticZero]

А можно ли модифицировать ваше доказательство так, чтобы избавиться от слов "как минимум" и установить, что числа заканчиваются именно на $(n-1)$ нулей и не более того?

[kotenok gav]

Не знаю.

[StaticZero]

kotenok gav в сообщении #1169377 писал(а):

$$ \sum\limits_{k=0}^{10^n-1}k^2+\sum\limits_{k=0}^{10^n-1}(k+10^n)^2+\sum\limits_{k=0}^{10^n-1}(k+ 2 \cdot 10^n)^2+ \ldots +\sum\limits_{k=0}^{10^n-1}(k+ 9 \cdot 10^n)^2 =$$

$$\begin{align*} S_{n + 1} &= \text{в этом месте содержимое цитаты} = \sum \limits_{m = 0}^9 \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} (k + m \cdot 10^n)^2 = \\ &= \sum \limits_{m = 0}^9 \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} \bigg(k^2 + 2km \cdot 10^n + m^2 \cdot 10^{2n}\bigg) = \\ &= \sum \limits_{m = 0}^9 \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} k^2 + \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} \sum \limits_{m = 0}^9 2km \cdot 10^n + \sum \limits_{m = 0}^9 \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} m^2 \cdot 10^{2n} = \\ &= 10 S_n + 20\cdot 10^n \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} k + 10^n\cdot 10^{2n} \sum \limits_{m = 0}^9 m^2, \end{align*}$$

где $S_n = \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} k^2$. Это я довёл ваши выкладки до более простого вида. (Кстати, замечу, что $\sum \limits_{m = 0}^9 m^2 = S_1$.)

Теперь положим по предположению, что $S_n$ делится на $10^{n - 1}$, но уже не делится на $10^n$. Ясно, что тогда $S_{n + 1}$ поделится нацело на $10^n$. Поделим его на $10^{n + 1}$:

$$ \dfrac{S_{n + 1}}{10^{n + 1}} = \dfrac{S_n}{10^n} + 2 \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} k + 10^{2n - 1} S_1$$

Как видите, разделилось всё, кроме первого слагаемого, которое по предположению такое. База индукции для $S_1$ очевидна: $S_1$ делится на единицу, но на 10 не делится. И пошло-поехало.

-- 16.11.2016, 20:28 --

Из приведённой формулы для $S_{n + 1}$

StaticZero в сообщении #1169531 писал(а):

$$\begin{align*} S_{n + 1} &= \text{в этом месте содержимое цитаты} = \sum \limits_{m = 0}^9 \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} (k + m \cdot 10^n)^2 = \\ &= \sum \limits_{m = 0}^9 \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} \bigg(k^2 + 2km \cdot 10^n + m^2 \cdot 10^{2n}\bigg) = \\ &= \sum \limits_{m = 0}^9 \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} k^2 + \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} \sum \limits_{m = 0}^9 2km \cdot 10^n + \sum \limits_{m = 0}^9 \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} m^2 \cdot 10^{2n} = \\ &= 10 S_n + 20\cdot 10^n \sum \limits_{k = 0}^{10^n - 1} k + 10^n\cdot 10^{2n} \sum \limits_{m = 0}^9 m^2, \end{align*}$$

попробуйте найти замкнутую формулу для $S_n$. Тоже полезное упражнение; если вы это сделаете, то можно сказать, что вы в лоб вычислили $S_n$.

-- 16.11.2016, 20:31 --

И, наконец, для вычисления сумм вида

$$ \sum \limits_{n = 1}^k n^s, $$

где $s$ некоторая натуральная степень, есть способ выведения общей формулы. См. например.