Многочлены от многих переменных

[student1138]

Здравствуйте. Читаю Кострикина, многочлены от многих переменных, не могу понять один момент.

Многочлены он над полем $A$ определяет как последовательности $(a_1, a_2, ... )$ с определенным образом заданными операциями сложения и умножения. Затем вводит переменную $X = (0, 1, 0, 0, ...)$ и доказывает что многочлен может быть представлен в виде $a_0 + a_1X + a_2X^2 + ...$ Таким образом получается кольцо $B = A[X]$ многочленов от одной переменной.

Кольцо многочленов $C$ от двух переменных он строит аналогично, взявь в качестве исходного кольца $B$: $C = B[Y]$. При этом вводится новая независимая переменная $Y$, цитата: "играющая по отношению к кольцу $C$ такую же роль, что и $X$ по отношению к $A$". Далее аналогично получается кольцо от n переменных.

И вот что я не могу понять: чему конкретно равна эта $Y$. По аналогии она тоже должна быть равна $(0, 1, 0, 0, ...)$ Но тогда $X=Y$ и никаких многих переменных не получается. Помогите пожалуйста разобраться.

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1168143 писал(а):

И вот что я не могу понять: чему конкретно равна эта $Y$. По аналогии она тоже должна быть равна $(0, 1, 0, 0, ...)$

А из какого кольца берутся члены последовательности $(a_1, a_2, ... )$ в случае конструкции со второй переменной?

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1168150 писал(а):

student1138 в сообщении #1168143 писал(а):

И вот что я не могу понять: чему конкретно равна эта $Y$. По аналогии она тоже должна быть равна $(0, 1, 0, 0, ...)$

А из какого кольца берутся члены последовательности $(a_1, a_2, ... )$ в случае конструкции со второй переменной?

Из кольца $B$, то есть единица в переменной $Y$ - это единичный многочлен в кольце $B$, равный $(1, 0, ...)$. Однако, как я рассуждаю, многочлены вида $(a, 0, 0, ...)$ в кольце $B$ образуют подкольцо, изоморфное $A$, поэтому единичный многочлен отождествляется с единицей кольца $A$. Вот так получается $X = Y$. В чем я не прав?

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1168180 писал(а):

Однако, как я рассуждаю, многочлены вида $(a, 0, 0, ...)$ в кольце $B$ образуют подкольцо, изоморфное $A$, поэтому единичный многочлен отождествляется с единицей кольца $A$.

Тогда почему вы не решаетесь рассуждать так же в исходной конструкции? Нужно быть во всем последовательным!

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1168181 писал(а):

student1138 в сообщении #1168180 писал(а):

Однако, как я рассуждаю, многочлены вида $(a, 0, 0, ...)$ в кольце $B$ образуют подкольцо, изоморфное $A$, поэтому единичный многочлен отождествляется с единицей кольца $A$.

Тогда почему вы не решаетесь рассуждать так же в исходной конструкции? Нужно быть во всем последовательным!

Вроде в исходной конструкции отождествлять уже дальше некуда $(0, 1, 0, 0, ...)$ - здесь $1$ - это единица самого исходного кольца $A$.

Вообще этот трюк с "отождествлением" я и сам не до конца понимаю, где его можно применять а где нет. В данном случае я попытался скопировать Кострикина. Когда он строит кольцо $B$ он пишет:

Цитата:

Последовательности $(a, 0, 0, ...)$ складываются и умножаются так же как элементы кольца $A$. Это позволяет отождествить такие последовательности с соответствующими элементами из $A$, т.е. положить $a = (a, 0, 0, ...)$ для всех $a \in A$. Тем самым $A$ становится подкольцом кольца $B$

Ну на этом основании, как я понимаю, он уже записывает многочлен в виде $a_0X + a_1X^2 + ...$, где, опять как я понимаю, $a_n \in A$.

Вот. Почему здесь такое "отождествление" возможно а в моем случае невозможно? Собственно я буквально следовал логике Кострикина - отождествил единичный многочлен с единицей из $A$.

[Brukvalub]

Попробуйте понять, как в новом кольце многочленов от двух переменных записывается элемент $X$ из кольца многочленов от одной переменной $X$ , тогда вам станет понятно, что ваше отождествление ошибочно.

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1168193 писал(а):

Попробуйте понять, как в новом кольце многочленов от двух переменных записывается элемент $X$ из кольца многочленов от одной переменной $X$ , тогда вам станет понятно, что ваше отождествление ошибочно.

Обозначу единицу кольца $B$ как $1_B$ Тогда в кольце $C$ переменная $X$ записывается как $(X, 0, 0, ...)$ Таким образом $Y = (0, 1_B, 0, 0, ...) \neq X$.

Но с другой стороны есть рассуждение самого Кострикина что что $1_B$ отождествляется с $1_A$ (единица кольца $A$). Следуя этому рассуждению $Y = (0, 1_B, 0, 0, ...) = (0, 1_A, 0, 0, ...) = (0, 1, 0, 0, ...) = X$.

В чем ошибка во втором рассуждении? Не могу сообразить пока.

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1168212 писал(а):

Следуя этому рассуждению $Y = (0, 1_B, 0, 0, ...) = (0, 1_A, 0, 0, ...) = (0, 1, 0, 0, ...) = X$

Но ведь вы только что поняли, что в новом кольце элемент X предыдущего кольца записывается не как $(0, 1, 0, 0, ...)$, а иначе. Или не поняли, а откуда-то механически списали?

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1168220 писал(а):

student1138 в сообщении #1168212 писал(а):

Следуя этому рассуждению $Y = (0, 1_B, 0, 0, ...) = (0, 1_A, 0, 0, ...) = (0, 1, 0, 0, ...) = X$

Но ведь вы только что поняли, что в новом кольце элемент X предыдущего кольца записывается не как $(0, 1, 0, 0, ...)$, а иначе. Или не поняли, а откуда-то механически списали?

Оффтопик: задавать вопросы на dxdy, а затем из интернета механически списывать ответы это не совсем осмысленное занятие.

В общем с вашей помощью у меня немного прояснилось в голове. Да, кольцо $B$ изоморфно некоторому подкольцу в $C$ но это не значит что отождествляемые элементы равны между собой (несмотря на то что мы их обозначаем одинаково). Например элементу $X = (0, 1, 0, 0, ...)$ соответствует элемент $X' = (X, 0, 0, ...)$. Поэтому, как я понимаю, фраза из учебника "Тем самым $A$ становится подкольцом кольца $B$", строго говоря, не верна. $A$ изоморфно подкольцу в $B$, но элементы $A$ не принадлежат множеству $B$, так что $A$ не является подмножеством $B$. Скажите правильно я это понимаю?

Но вот все-таки не до конца прояснилось. Не могу понять почему недопустимо такое "отождествление" в кольце $C$: $Y = (0, 1_B, 0, 0, ...) = (0, 1_A, 0, 0, ...) = (0, 1, 0, 0, ...)$. Или оно допустимо?

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1168335 писал(а):

$A$ изоморфно подкольцу в $B$, но элементы $A$ не принадлежат множеству $B$, так что $A$ не является подмножеством $B$. Скажите правильно я это понимаю?

Да, правильно понимаете.

student1138 в сообщении #1168335 писал(а):

Не могу понять почему недопустимо такое "отождествление" в кольце $C$: $Y = (0, 1_B, 0, 0, ...) = (0, 1_A, 0, 0, ...) = (0, 1, 0, 0, ...)$. Или оно допустимо?

Давайте танцевать "от печки" и спустимся с алгебраических небес на грешную землю. Вот построили мы кольцо многочленов от 2-х переменных с коэффициентами из некоторого поля. Кострикин предлагает строить его так: сначала рассмотреть конечные последовательности элементов поля - эти последовательности есть просто последовательности коэффициентов многочлена от одной переменной $X$. Потом рассмотреть конечные последовательности из многочленов от этой одной переменной - это будут многочлены от 2-х переменных $X, Y$, сгруппированные по степеням второй переменной. Понятно, что в кольце многочленов от 2-х переменных есть многочлены, в которых встречается только вторая переменная $Y$, множество таких многочленов образует подкольцо, которое изоморфно ранее построенному кольцу многочленов от одной переменной $X$, и вы своими "отождествлениями" как раз и построите этот изоморфизм.
Но какое это имеет отношение к конструкции Кострикина?

[iifat]

Распишите честно все эти последовательности. Многое, имхо, прояснится.

student1138 в сообщении #1168335 писал(а):

элемент $X' = (X, 0, 0, ...)$

Подставьте сюда $X$. И в прочие «равенства» всё подставьте.

student1138 в сообщении #1168335 писал(а):

"отождествление"

Никак не пойму, что за такое «отождествление»? Вы как-то, похоже, отождествляете соответствующие элементы при наличии изоморфизма. А