Колебания флага на ветру

[alhimikoff]

Здравствуйте!

Помогите составить дифур для колебаний флага на ветру.

Правильно ли я делаю?
Флаг нерастяжимый, во время движения длина любой кривой на поверхности флага не меняется.
Зададим флаг параметрически: $\boldsymbol{r}(u,v,t)$. В каждый момент времени имеет место поверхность $\boldsymbol{r}(u,v)$.
Запишем элементарный отрезок:
$ds=\sqrt{(\frac{\partial x}{\partial{u}}{\cdot du} + \frac{\partial x}{\partial{v}}{\cdot dv})^2+(\frac{\partial y}{\partial{u}}{\cdot du} + \frac{\partial y}{\partial{v}}{\cdot dv})^2+(\frac{\partial z}{\partial{u}}{\cdot du} + \frac{\partial z}{\partial{v}}{\cdot dv})^2}$
Со временем отрезок не меняется:
$\frac{\partial{s}}{\partial t} = 0$
И это должно иметь место при любых $du$ и $dv$, поэтому независимо приравняем нулю коэффициенты с $du^2$, $du \cdot dv$, $dv^2$
$\frac{\partial x}{\partial u} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial y}{\partial u} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial t} = 0$
и т.д.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Полностью заключайте формулу в знаки долларов, не разбивая на фрагменты.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

При колебаниях пластины ее соседние участки взаимодействуют, то есть действуют друг на друга с некими силами реакции, причем для разных материалов эффект этого взаимодействия должен быть разным. Например, флаг из тонкого листа гибкого материала и из толстого листа того же материала должны развеваться по-разному, еще сильнее различается поведение флагов из разных материалов.
В вашей модели эти различия никак не учитываются.

[alhimikoff]

Brukvalub
До физики пока не добрался. Разбираюсь с нерастяжимостью. Лист конечно тонкий.
Насколько классическая эта задача?

[Singular]

Это физическое явление называется - флаттер. Может быть, это ключевое слово чем-то поможет в поиске информации?

[Brukvalub]

alhimikoff в сообщении #1167976 писал(а):

Насколько классическая эта задача?

Я не спец. в урматфиз, поэтому точного ответа не дам. Но, например, по запросу "уравнение колебаний мембраны" вы найдете кучу рассуждений, в той или иной степени похожих на ваши. Поэтому, подозреваю, здесь для адекватной математики нужно сначала хорошо разобраться именно в физике колебаний флага.

[arseniiv]

Отвлечённый коммент:

alhimikoff в сообщении #1167976 писал(а):

Разбираюсь с нерастяжимостью.

Если лист нерастяжимый и был когда-нибудь плоским, произведение его главных кривизн должно в любой точке всегда быть нулём. Это весьма жёсткое условие — посмотрите, какой из бумажного листа «флаг» получается, если не допускать образовываться линиям сгиба. Интересует всё-таки такой?

[alhimikoff]

arseniiv в сообщении #1167985 писал(а):

Если лист нерастяжимый и был когда-нибудь плоским, произведение его главных кривизн должно в любой точке всегда быть нулём. Это весьма жёсткое условие — посмотрите, какой из бумажного листа «флаг» получается, если не допускать образовываться линиям сгиба. Интересует всё-таки такой?

Да, лучше флаг из нерастяжимых нитей, а диагональ пусть меняется...

[alhimikoff]

Лист сворачивается только в цилиндр, конус, или в их комбинацию. Есть другие варианты?

[Brukvalub]

alhimikoff в сообщении #1168022 писал(а):

Есть другие варианты?

Есть. Разобраться в физически правильной постановке задачи, о чем я уже писАл выше.

[Батороев]

alhimikoff в сообщении #1168022 писал(а):

Есть другие варианты?

В форму синусоиды (волны).

[Munin]

alhimikoff в сообщении #1167976 писал(а):

До физики пока не добрался.

В этом ваша ключевая ошибка. Физика здесь не в конце, а в самом начале задачи. И никакой "нерастяжимости" не понадобится, когда вы до хоть чего-то доберётесь, хоть до каких-то уравнений. А если понадобится, то вы будете уже намного лучше понимать хотя бы, что к чему, и в каком виде вам что-то нужно.

[alhimikoff]

Надо смотреть в сторону подхода Лагранжа?
Можно ли решить эту задачу, используя подход Эйлера, задав скорости в точках поверхности:$\boldsymbol{v}(u,w)$?
Выразить ускорение через только через $v,\frac{\partial v}{\partial u}, \frac{\partial v}{\partial w}, \frac{\partial v}{\partial t}$ у меня не получается, а вообще возможно ли?