связность и метрика

[zoo]

На многообразии символами Кристоффеля задана аффинная связность, каковы достаточные условия того, что эта связность согласована с некоторой метрикой?

[Gafield]

Если связность симметричная, то при $n=2$, вероятно, для любой.
Для $n=3$ они, может, совпадут с необходимыми Во всяком случае, тензор кривизны, задаваемой симметричной связностью, получить можно.
А именно, построим тензор Римана, а по нему тензор Риччи. Однако известно, что (при n=3) для любого гладкого тензора второго ранга найдется метрика, для которой он будет тензором Риччи (и там и там по шесть независимых компонент). Не помню только, локально или глобально. Тензор Римана восстанавливается в этом случае по т. Риччи, так что остается только вопрос, насколько однозначно восстанавливаются символы Кристоффеля по т. Римана.

[zoo]

Спасибо. В принципе у меня кое-какой неконструктивный (проверять надо счетное число равенств) ответ на этот вопрос есть и для любой размерности, но во-первых ответ этот локальный в окрестности точки, а во-вторых только для случая когда символы Кристоффеля аналитические функции. А как Вам кажется, сама по себе эта задача представляет интерес или нет?

[Gafield]

Мне кажется, что если для этой задачи в каких-то случаях возможен простой ответ, то, вероятно, это уже написано где-нибудь. Слишком уж вопрос естественный. А в терминах коэффициентов рядов это будут, вероятно, сложно проверяемые признаки, которые трудно использовать для решения других задач. Может, однако, при этом найдутся какие-нибудь интересные утверждения о зависимости метрики от символов Кристоффеля.

Если бы речь шла о метрике, то есть теорема, что достаточно какой-то минимальной гладкости метрики (типа C^1 или C^2), чтобы можно было сделать локальную замену коодинат, делающую метрику аналитической. Поэтому, если не бороться за минимальную гладкость, в локальных вопросах можно считать, что метрика аналитическая. Не знаю, верно ли это для символов Кристоффеля.

[zoo]

Gafield писал(а):

Мне кажется, что если для этой задачи в каких-то случаях возможен простой ответ, то, вероятно, это уже написано где-нибудь.

я вообщем то это и сам понимаю.

Мне на самом деле нужно найти приложение для теоремы существования такой задачи:
$\frac{\partial u^j}{\partial t^k}=f^{j,s}_{k,l}(t,x,u)\frac{\partial u^l}{\partial x^s}+g^j_k(t,x,u),\quad u^j\mid_{t=0}=0.$
$x=(x^1,\ldots,x^m)\in \mathbb{C}^m,\quad u=(u^1,\ldots,u^p),\quad t=(t^1,\ldots, t^n)\in \mathbb{C}^n.$

[zoo]

скажите пожалуйста, а почему Вы переместили эту тему?