Энергия системы частиц с гравитационным взаимодействием

[Gickle]

День добрый, такая задача поставлена:

Энергия на единицу массы в бесстолкновительной (collisionless) системе с гравитационным взаимодействием определяется выражением

$$\varepsilon = \frac{1}{2}v^2 + \Phi,$$

где $\Phi$ - значение гравитационного потенциала.

Показать, что полная энергия системы $E$ равна

$$E = \frac{1}{3} M \langle \varepsilon \rangle_{m}$$

Здесь $M$ - масса всей системы, \langle \varepsilon \rangle _{m}$ - усредненное по массам частиц значение $\varepsilon$.

Вот я как-то не очень понимаю, что за зверь такой \langle \varepsilon \rangle _{m}$? Если усреднять по массам частиц, то

$\displaystyle\langle \varepsilon \rangle _{m} = \frac{ \sum_{i} m_i \left(\frac{1}{2}v_i^2 + \Phi_i \right)}{M} \stackrel{?}{=}$ T + \sum_{i} \Phi_i \stackrel{?}{=} \displaystyle\frac{T + 2 U}{M},$

здесь использовал то, что в последней сумме войдет и взаимодействие $i - j$, и взаимодействие $j-i$, так что полная потенциальная энергия $U$ войдёт дважды.

Вот если б усреднить это выражение по времени, то замечательно было бы, ибо согласно теореме и вириале в случае гравитационного взаимодействия:

$$\langle T \rangle = -\frac{1}{2} \langle U \rangle, $$

где усреднение уже по времени.

Я что-то не так делаю или здесь просто неявно подразумевается, что усрелнить надо не только по массам, но и по времени?

[warlock66613]

Здесь ничего неявно не подразумевается, но если вы хотите применить усреднение по времени, то что вам мешает это сделать?

[Gickle]

warlock66613
Да, но тогда у меня поулчится, что

$$E = \frac{1}{3} M \langle \varepsilon \rangle_{m,t}$$

То есть усреднение и по массам частиц, и по времени. А в задаче просят показать немного другое.

[Munin]

В статистике обычно подразумевается усреднение по ансамблю.

[warlock66613]

Gickle в сообщении #1167948 писал(а):

А в задаче просят показать немного другое.

Да, действительно. Мне показалось было, что $\langle \varepsilon \rangle _m$ не зависит от времени, но это определённо не так. Видимо, дейсвительно подразумевается усреднение.

[Gickle]

Munin
warlock66613
Забыл добавить, что система является стационарной. В этом случае, я так понимаю, в силу эргодической гипотезы можно считать, что:

$\langle \varepsilon \rangle _{m} \stackrel{def}{=} \langle \varepsilon \rangle _{m}(t) = \langle \varepsilon \rangle _{m,ans} = \langle \varepsilon \rangle _{m,t} \Rightarrow E = \frac{1}{3} M \langle \varepsilon \rangle_{m} $


Рассуждение правдоподобное?

P.S. К слову, $\sum_{i} \Phi_i = 2 U$ правильно же?