Иррациональные числа и неоднозначность определений

[ZVS]

Brukvalub писал(а):

Действительные числа никогда не определяются как совокупность рациональных и иррациональных. Интересная у Вас метода - сначала приписать математикам глупости, которых они никогда не говорили, а затем критиковать их за эти несказанные глупости.

Даже спорить не буду.Неинтересно..
P.S.Вы видимо не нашли в известной Вам формулировке слова "совокупность"?
Я сознаюсь,это моя личная интерпретация.
Именно этим я здесь и собираюсь заниматься.Пытаться показать, что заученные формулировки могут иметь смысл не только тот, что Вам привычен..
Вот в Википедии вообще мощно задвинуто:
Веще́ственные или действи́тельные[1] числа — математическая абстракция, служащая, в частности, для представления физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. В отличие от большинства понятий математики, вещественные числа знакомы широкому кругу образованных людей ввиду своих разнообразных приложений. (С)
Вы случайно не на основании этого определения решили, что я неправ?

[Henrylee]

ZVS писал(а):

Естественно способов задания сечения может быть множество,вот только одновременно существует только одно.

Навеяло

Цитата:

Вас смешит невежество Землян, полагающих, что существует только одна Реальность. Нас же смешит невежество Вечных, которые знают, что Реальностей много, но думают, что существовать может только одна.
(с) А.Азимов Конец Вечности

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

Именно этим я здесь и собираюсь заниматься.Пытаться показать, что заученные формулировки могут иметь смысл не только тот, что Вам привычен..

То есть Вы намерены и далее фальсифицировать верные определения понятий, подменяя их абсурдными, а потом с блеском эти, синтезированные Вами же, глупые формулировки разоблачать? Тогда Вы нашли себе в высшей степени достойное занятие. Удачи Вам в делах Ваших!

[MaximKat]

Может быть воспользоваться методикой, родственной предложенной swedkой?

ZVS
сформулируйте определения, которые Вы собрались опровергать, пожалуйста

Добавлено спустя 8 минут 7 секунд:

О, простите. Перечитал первую страницу, много думал...

ZVS
Ответьте на вопрос AD:

AD писал(а):

Множество $2^\mathbb{Q}$ подмножеств множества $\mathbb{Q}$ видели когда-нибудь? Пары его элементов образовать можете? Одновременно или по очереди?

Особенно на последнюю часть, существуют ли все подмножества $\mathbb{Q}$ одновременно или поочереди? Конкретнее, когда вы смотрите на множество $\mathbb{N}$ не может ли исчезнуть незаметно множество $\mathbb{Z}$?

[MaximKat]

Вопрос ко всем: если определять действительные числа как фундаментальные последовательности рациональных, то получится то же самое, что и с сечениями или нет?

[Профессор Снэйп]

MaximKat писал(а):

Вопрос ко всем: если определять действительные числа как фундаментальные последовательности рациональных, то получится то же самое, что и с сечениями или нет?

А что значит "то же самое"?

Получится структура, изоморфная той же самой. То есть архимедово упорядоченное поле со свойством полноты. В принципе, есть все резоны считать это "тем же самым".

[RIP]

MaximKat писал(а):

...если определять действительные числа как фундаментальные последовательности рациональных...

Не то чтобы я любил придираться по мелочам (если честно, то люблю), но тогда уж как классы эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

[MaximKat]

Профессор Снэйп писал(а):

Получится структура, изоморфная той же самой. То есть архимедово упорядоченное поле со свойством полноты. В принципе, есть все резоны считать это "тем же самым".

Ну да, "то же самое" в смысле изоморфизма. Спасибо

RIP писал(а):

Не то чтобы я любил придираться по мелочам (если честно, то люблю), но тогда уж как классы эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Тогда к ZVS:
Вас не устраивает конкретно сечения Дедекинда, а другие конструкции для действительных чисел устраивают?

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

...тогда уж как классы эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Да, конечно же классы.

Кстати, с сечениями тоже получается классы. Но можно и без классов.

Я извиняюсь за возможные повторы, но совершенно нет сил перечитывать весь тред с начала (с самого первого сообщения темы). Так что заранее извиняюсь, если что-то повторю.

Нам на первом курсе давали так:

Сечением называется пара $(A,B) \in \mathcal{P}(\mathbb{Q}) \times \mathcal{P}(\mathbb{Q})$, такая что $A, B \neq \varnothing$, $A \cup B = \mathbb{Q}$ и $a < b$ для любых $a \in A$ и $b \in B$.

Если принять это определение, то каждый рациональный элемент $\mathbb{R}$ задаётся двумя различными сечениями, ибо сам определяемый элемент может лежать как в левой, так и в правой компоненте пары. После этого приходится объявлять действительными числами множество классов эквивалентности

$$ (A_1, B_1) \sim (A_2, B_2) \Leftrightarrow |A_1 \triangle A_2| \leqslant 1. $$

Однако надо заметить, что в сечении $(A,B)$ множество $A$ однозначно восстанавливается по $B$, так что упоминать $A$ в определении --- лишнее. Я бы предпочёл оформить всё это дело так:

Непустое множество $S \subseteq \mathbb{Q}$ с непустым дополнением $\mathbb{Q} \setminus S$ называется действительным числом, если для любых $s \in S$ и $q \in \mathbb{Q}$ из $s<q$ следует $q \in S$ и $(\forall s \in S)(\exists t \in S)(t < s)$.

Раньше я предпочитал брать в качестве действительного числа начальный сегмент вместо конечного, но кто-то мне сказал, что с конечными сегментами проще определять операции. Дескать, со знаками меньше возни.

А вот что воистину гадко --- это определять элементы $\mathbb{R}$ как бесконечные десятичные дроби. После такого определения легче повеситься, чем вводить на $\mathbb{R}$ операции.

[ZVS]

MaximKat писал(а):

ZVS
Ответьте на вопрос AD:

AD писал(а):

Множество $2^\mathbb{Q}$ подмножеств множества $\mathbb{Q}$ видели когда-нибудь? Пары его элементов образовать можете? Одновременно или по очереди?

Особенно на последнюю часть, существуют ли все подмножества $\mathbb{Q}$ одновременно или поочереди? Конкретнее, когда вы смотрите на множество $\mathbb{N}$ не может ли исчезнуть незаметно множество $\mathbb{Z}$?

Так,если Вы поняли что является предметом обсуждения,попробуйте спрашивать поближе к теме.А вопрос AD из другой оперы.Операции с любыми элементами(подмножествами) уже введенного множества не влияют на факт существования того, что уже определено и существует независимо от последующих действий.
Ведь зачем так много усилий, что бы ввести сначало теоретико-множественные аксиомы,а только потом определять, для тогда якобы уже существующих элементов множеств, свойства действительных,натуральных,рациональных чисел?
Не из любви к искусству же?
Но,как некоторым,то есть конечно же всем известно(а то обидятся) ,попытка не совсем удалась...

[MaximKat]

ZVS писал(а):

А вопрос AD из другой оперы.Операции с любыми элементами(подмножествами) уже введенного множества не влияют на факт существования того, что уже определено и существует независимо от последующих действий.

Я так понимаю, это означает ваше согласие с тем, что все подмножества $Q$ существуют "одновременно". Замечательно, тогда я думаю для Вас не составит труда "одновременно" представить себе следующие множества: $A_1=\{q\in\mathbb{Q}:q^2<2 \lor q < 0\}$, $B_1=\{q\in\mathbb{Q}:q^2>2\land q>0\}$, $A_2=\{q\in\mathbb{Q}:q^2<3\lor q<0\}$, $B_2=\{q\in\mathbb{Q}:q^2>3\land q>0\}$. Так вот в модели Дедекинда пара множеств $(A_1,B_1)$ соответствует тому, что принято считать числом $\sqrt{2}$, а пара $(A_2,B_2)$ соответствует числу $\sqrt{3}$. Как видите, они прекрасно сосуществуют и не исчезают, как только вы от них отворачиваетесь.

ZVS писал(а):

Не из любви к искусству же?

Вероятно, чтобы получить формальную модель действительных чисел. А что?

исправил ошибку в формулах для сечений

[ZVS]

MaximKat писал(а):

ZVS писал(а):

А вопрос AD из другой оперы.Операции с любыми элементами(подмножествами) уже введенного множества не влияют на факт существования того, что уже определено и существует независимо от последующих действий.

Я так понимаю, это означает ваше согласие с тем, что все подмножества $Q$ существуют "одновременно". Замечательно, тогда я думаю для Вас не составит труда "одновременно" представить себе следующие множества: $A_1=\{q\in\mathbb{Q}:q^2<2\}$, $B_1=\{q\in\mathbb{Q}:q^2>2\}$, $A_2=\{q\in\mathbb{Q}:q^2<3\}$, $B_2=\{q\in\mathbb{Q}:q^2>3\}$. Так вот в модели Дедекинда пара множеств $(A_1,B_1)$ соответствует тому, что принято считать числом $\sqrt{2}$, а пара $(A_2,B_2)$ соответствует числу $\sqrt{3}$. Как видите, они прекрасно сосуществуют и не исчезают, как только вы от них отворачиваетесь.

А сам Дедекинд знает о таком варианте его определения?Что то я не пойму из него, что же есть множество иррациональных чисел.

По поводу прозвучавшего мнения, как сечение или последовательность рациональных чисел, именно определяет действительное число:
"Соотношение между последовательностями приближений,определяющими число, и самими числами примерно такое же,как между точкой на карте, и указкой которая указывает нам эту точку."
В.А.Зорич Математический анализ ч.1 гл.2 стр. 56
Оттуда же,поскольку вроде как авторитет:
"Число в математике как время в физике, известно каждому,но непонятно лишь специалистам.Это одна из основных математических абстракций,которой,по видимому,ещё предстоит существенная эволюция.."

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

По поводу прозвучавшего мнения, как сечение или последовательность рациональных чисел, именно определяет действительное число:
"Соотношение между последовательностями приближений,определяющими число, и самими числами примерно такое же,как между точкой на карте, и указкой которая указывает нам эту точку."
В.А.Зорич Математический анализ ч.1 гл.2 стр. 56
Оттуда же,поскольку вроде как авторитет:
"Число в математике как время в физике, известно каждому,но непонятно лишь специалистам.Это одна из основных математических абстракций,которой,по видимому,ещё предстоит существенная эволюция.."

Дедекиндово сечение не имеет никакого отношения к последовательным приближениям, поэтому ваша ссылка на Зорича при обсуждении Дедекиндовых сечений неуместна. Еще более странной выглядит здесь вторая цитата, которая просто вырвана из контекста неких его "философических" рассуждений. Этак можно с горя предположить, что и сам Зорич не знает ничего про числа, но я у Зорича учился, а затем много лет вел за ним семинары, поэтому со всей ответственностью заявляю: Зорич в определении действительных чисел не путается!

[ZVS]

Brukvalub писал(а):

Дедекиндово сечение не имеет никакого отношения к последовательным приближениям, поэтому ваша ссылка на Зорича при обсуждении Дедекиндовых сечений неуместна. Еще более странной выглядит здесь вторая цитата, которая просто вырвана из контекста неких его "философических" рассуждений. Этак можно с горя предположить, что и сам Зорич не знает ничего про числа, но я у Зорича учился, а затем много лет вел за ним семинары, поэтому со всей ответственностью заявляю: Зорич в определении действительных чисел не путается!

Я то причем?!Вы читайте медленно,а потом выговаривайте,тем кто по вашему правильному мнению, так неправильно думает..

[AD]

ZVS писал(а):

А сам Дедекинд знает о таком варианте его определения?

А что, он знает о каком-то другом варианте?