Задача про целочисленную решетку

[Rusit8800]

Задача: Прямоугольник расположен в узлах целочисленной решетки, причем прямые, содержащие стороны прямоугольника "идут" по линиям сетки.Доказать, что если $a$ и $b$ - длина сторон прямоугольника, то узлы решетки делят диагональ на $x=(a,b)$ равных частей. Я рассуждал так:

Пусть $n$ - количество узлов внутри прямоугольного треугольника со сторонами $a$ и $b$, тогда,согласно формуле Пика, его площадь равна $n+ \frac{a+b+x}{2} - 1$, с другой стороны, она равна $\frac{1}{2}ab$, приравнивая, получаем, что $x=2(n-1-ab)$.Но как найти $n$?

[Brukvalub]

Одного не понял - при чем здесь площадь? Доказываемый факт тривиален, достаточно поставить вершину прямоугольника в начало координат и рассмотреть диагональ как кусок графика линейной функции

[Rusit8800]

Цитата:

Одного не понял - при чем здесь площадь?

Просто мы можем вычистить площадь двумя путями, и в обоих случаях она выражается через количество тех или иных узлов решетки.

Цитата:

достаточно поставить вершину прямоугольника в начало координат и рассмотреть диагональ как кусок графика линейной функции

Только не понятно какой функцией задать сетку. Понятно, что $y=m, x=n$ где $m,n \ \in {\rm Z}\, но с этим не разбежишься.

[arseniiv]

Да просто вот у вас отрезок интервал прямой $(x,y) = (a,b)t$, задаваемый $t\in(0;1)$, и для простоты $\operatorname{gcd}(a,b) = 1$. Сетку задавать не нужно никакой функцией, просто покажите, что если на этом интервале обе координаты у точки целые, будет противоречие.

[Rusit8800]

А через формулу Пика никак? Я предпочитаю синтетические методы.

[arseniiv]

Ну, я не пробовал. Кажется, она слишком общая, чтобы из неё можно было вывести нужное.

[Brukvalub]

Мне больше нравятся работающие методы, а не декаданс и винтаж.

[iifat]

Rusit8800 в сообщении #1165854 писал(а):

через формулу Пика никак?

В принципе, может, и как. Если вы таки подсчитаете количество точек внутри треугольника. Я, кстати, проблем ваших не понимаю. Постройте треугольник, скажем, 10 на 15 и вдумчиво посчитайте. Потом обобщите.
Если вас, конечно, не смутит факт, что при доказательстве формулы Пика, уверен, использовались приведённые вам методы.