2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача про целочисленную решетку
Сообщение03.11.2016, 19:43 
Аватара пользователя
Задача: Прямоугольник расположен в узлах целочисленной решетки, причем прямые, содержащие стороны прямоугольника "идут" по линиям сетки.Доказать, что если $a$ и $b$ - длина сторон прямоугольника, то узлы решетки делят диагональ на $x=(a,b)$ равных частей. Я рассуждал так:

Пусть $n$ - количество узлов внутри прямоугольного треугольника со сторонами $a$ и $b$, тогда,согласно формуле Пика, его площадь равна $n+ \frac{a+b+x}{2} - 1$, с другой стороны, она равна $\frac{1}{2}ab$, приравнивая, получаем, что $x=2(n-1-ab)$.Но как найти $n$?

 
 
 
 Re: Задача про целочисленную решетку
Сообщение03.11.2016, 19:56 
Аватара пользователя
Одного не понял - при чем здесь площадь? Доказываемый факт тривиален, достаточно поставить вершину прямоугольника в начало координат и рассмотреть диагональ как кусок графика линейной функции

 
 
 
 Re: Задача про целочисленную решетку
Сообщение03.11.2016, 20:52 
Аватара пользователя
Цитата:
Одного не понял - при чем здесь площадь?

Просто мы можем вычистить площадь двумя путями, и в обоих случаях она выражается через количество тех или иных узлов решетки.
Цитата:
достаточно поставить вершину прямоугольника в начало координат и рассмотреть диагональ как кусок графика линейной функции

Только не понятно какой функцией задать сетку. Понятно, что $y=m, x=n$ где $m,n \ \in {\rm Z}\, но с этим не разбежишься.

 
 
 
 Re: Задача про целочисленную решетку
Сообщение03.11.2016, 21:07 
Да просто вот у вас отрезок интервал прямой $(x,y) = (a,b)t$, задаваемый $t\in(0;1)$, и для простоты $\operatorname{gcd}(a,b) = 1$. Сетку задавать не нужно никакой функцией, просто покажите, что если на этом интервале обе координаты у точки целые, будет противоречие.

 
 
 
 Re: Задача про целочисленную решетку
Сообщение03.11.2016, 21:25 
Аватара пользователя
А через формулу Пика никак? Я предпочитаю синтетические методы.

 
 
 
 Re: Задача про целочисленную решетку
Сообщение03.11.2016, 22:13 
Ну, я не пробовал. Кажется, она слишком общая, чтобы из неё можно было вывести нужное.

 
 
 
 Re: Задача про целочисленную решетку
Сообщение03.11.2016, 22:15 
Аватара пользователя
Мне больше нравятся работающие методы, а не декаданс и винтаж. :oops:

 
 
 
 Re: Задача про целочисленную решетку
Сообщение04.11.2016, 04:51 
Rusit8800 в сообщении #1165854 писал(а):
через формулу Пика никак?
В принципе, может, и как. Если вы таки подсчитаете количество точек внутри треугольника. Я, кстати, проблем ваших не понимаю. Постройте треугольник, скажем, 10 на 15 и вдумчиво посчитайте. Потом обобщите.
Если вас, конечно, не смутит факт, что при доказательстве формулы Пика, уверен, использовались приведённые вам методы.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group