определение нормальной подгруппы

[ShMaxG]

Подскажите пожалуйста. Вот определение нормальной подгруппы:

Подгруппа H группы G называется нормальной, если для любого элемента $g \in G$ выполняется равенство $gH = Hg$.

Это то же самое, что и $H \triangleleft G$, если $H < G$, и

$$\forall g \in G\quad\forall h_1 \in H\quad\exists h_2:\;gh_1 = h_2 g\;?$$

[juna]

Да, то же самое. Для нормальной группы множество правых и левых смежных классов совпадает, т.е. множество $gH$ есть перестановка элементов множества $Hg$ для всех $g$.
Есть еще такое определение: если $H$ - нормальный делитель, то $\forall g\in G: g^{-1}Hg\in H$

[ShMaxG]

Спасибо.

[Sensile]

juna

juna писал(а):

Есть еще такое определение: если $H$ - нормальный делитель, то $\forall g\in G: g^{-1}Hg\in H$

Это в данном случае будет уже теоремой

[Echo-Off]

juna писал(а):

g^{-1}Hg\in H$

Скорее g^{-1}Hg\subset H$

[Профессор Снэйп]

Echo-Off писал(а):

juna писал(а):

g^{-1}Hg\in H$

Скорее g^{-1}Hg\subset H$

Я бы написал $g^{-1}Hg \subseteq H$, поскольку знак $\subset$ часто используют для обозначения строгого включения. А вообще, конечно, $g^{-1}Hg = H$.

[Попов А.В.]

Echo-Off писал(а):

juna писал(а):

g^{-1}Hg\in H$

Скорее g^{-1}Hg\subset H$

Так как всякое сопряжение, заданное некоторым элементом группы, является ее автоморфизмом, следует равенство $g^{ - 1} Hg = H $

[Echo-Off]

Да, следует. Просто juna написал, что одно множество является элементом другого, а не подмножеством, вот я и указал на эту вопиющую несправедливость