Руст писал(а):
Все ваши утверждения тривиальны кроме 3), т.е. существования такого нечётного

, что в последовательности

бесконечно много простых, при

это эквивалентно бесконечности простых чисел Мерсена. Эта гипотеза до сих пор не доказана.
Тривиальны?!!
(1) и (2).
Значит, говорите, двухорбитных простых (как их правильно называть?) бесконечно много?
Заметил, что все двухорбитные простые имеют вид

и

(эквивалентно

- простые, имеющие

-ку квадратичным невычетом) - по известной нетривиальной теореме простых

и

бесконечно, но не каждое простое из этих арифметических прогрессий двухорбитно, например:

=43,109,157,229,251,277,283,307,331,397,499… С классом простых, имеющих

-ку своим квадратичным невычетом двухорбитные простые значит не совпадают – и кто может доказать что их тоже бесконечно?
А может, вы можете доказать, что последовательностей

типа (1) и (2) не существует, не обращаясь к двухорбитным простым?
(3).
В каком смысле? Последовательность

содержит бесконечно много простых, если

- простое Мерсена? Тогда существование чисел Мерсена, доказывает , что последовательностей

типа (3) существует по крайней мере ненулевое конечное число. И бесконечное количество, если чисел Мерсена бесконечно.
Или ваше утверждение более слабое: существует некоторое натуральное

, что последовательность

содержит бесконечно много простых, если существует бесконечно много простых Мерсена?
maxal писал(а):
3) такие, вероятно, есть, но доказать проблематично
Вероятность члена последовательности

быть простым порядка

, значит по причине логарифмической расходимости, если тип (1) и (2) не существует, то последовательностей типа (3) - основная масса (тип (4) и (5) имеют меру нуль).
maxal писал(а):
4) сходу затрудняюсь ответить
5) такие есть - см.
числа Ризеля(4) и (5).
Кажется Вы,
Руст, упустили одну деталь. У меня последовательности

нечетных натуральных начинаются с нечетного

. А начинающиеся просто с любого нечетного (как для чисел Ризеля) у меня обозначаются

.
Под числами Ризеля будем понимать только непродолжаемые: нечетные вида

либо простые – ибо если число Ризеля составное вида

, то

тоже число Ризеля.
Тривиально ли доказательство, что данное нечетное натуральное является числом Ризеля?
Если числа Ризеля существуют, то их последовательности

не содержат простых и относятся к типу (5). Но если их начало продолжаемо до начала вида

(

), то в полученной последовательности

могут появится простые и последовательность получит тип (4).
Существование чисел Ризеля, таким образом, говорит о существовании последовательностей типа (4) или (5).
Чтобы существовали последовательностей именно типа (4), необходимо существование простых чисел Ризеля; чтобы именно типа (4) - существование составных чисел Ризеля вида

.
Чтобы последовательностей типа (4) и (5) было бесконечно, необходима бесконечность чисел Ризеля двух указанных классов.
Тривиально ли доказательство бесконечности чисел Ризеля, бесконечности указанных классов чисел Ризеля?
maxal писал(а):
ddn писал(а):
Числа Решеля:
Традиционно эта фамилия переводится как Ризель, и числа соответственно Ризеля.
Спасибо за уточнение.